Enunciado

Um pêndulo físico é formado por uma barra delgada homogênea de comprimento l , suspensa por um ponto à distância s ( < l / 2 ) de seu centro, oscilando num plano vertical. Para que valor de s o período de oscilação é mínimo? Quanto vale então?

Passo 1

Vamos começar com um desenho da situação:

Beleza. Agora vamos imaginar que essa barra oscila em torno do ponto vermelho por um ângulo θ .

Nesse caso, uma componente da força peso vai puxá-la de volta para a posição original:

∑ τ = I θ ¨ = - m g sen ⁡ θ s

E essa força vai agir a uma distância s do ponto por está suspensa. Para pequenas oscilações podemos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ , então:

I θ ¨ + m g θ s = 0

Passo 2

Agora precisamos encontrar uma expressão para o momento de inércia I em torno do ponto de suspensão.

Vamos usar o teorema dos eixos paralelos, já que conhecemos o momento de inércia quando o eixo passa pelo centro:

Então:

1 12 m l 2 + m s 2 θ ¨ + m g θ s = 0

Agora vamos dividir tudo por m e reorganizar um pouco:

θ ¨ + g s 1 12 l 2 + s 2 θ = 0

Que é a equação de um oscilador harmônico com a seguinte frequência angular:

ω = g s 1 12 l 2 + s 2

E o período é:

τ = 2 π ω = 2 π   1 12 l 2 + s 2 g s  

τ = 2 π g l 2 12   s + s

Passo 3

Ok, agora temos uma expressão para o período em função de s . Para achar o ponto de mínimo precisamos derivar e igualar a zero:

d d s τ s = 0

d d s 2 π g l 2 12   s + s = 0

Podemos dividir os dois lados pelas constantes:

d d s l 2 12   s + s = 0

Como a raiz quadrada é sempre crescente, dá no mesmo procurar o ponto de mínimo do termo que está dentro da raiz:

d d s l 2 12   s + s = 0

Agora sim, vamos derivar:

- l 2 12 s 2 + 1 = 0

12 s 2 = l 2

s = l 12 = l 2 3

Então esse é o valor que minimiza o período. Nesse caso, o período será:

τ = 2 π g l 2 12   s + s

τ = 2 π g l 2 12   l 12 + l 12

τ = 2 π g 2 l 12 = 2 π l 3 g

Resposta

O período de oscilação é mínimo para s = l / 2 3 . Nesse caso o período é τ = 2 π l 3 g .

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