Enunciado

A equação x ' = γ x - u t fornece a transformação apenas do componente no eixo 0 x da velocidade de um objeto. Suponha que o objeto considerado na dedução também se mova na direção   y / y ' . Encontre uma expressão para u y em função dos componentes de u ' , v e c que represente a transformação para os componentes da velocidade no eixo O y . (Sugestão: aplique as transformações de Lorentz e relações como u x = d x / d t , u ' x = d x ' / d t ' e assim por diante aos componentes no eixo O y . )

Passo 1

Sabemos que a velocidade é:

u y = d y d t

Além disso, sabemos pelas Transformadas de Lorentz que:

y = γ y ' + u t '

Logo:

d y = γ d y ' + u d t '

E que:

t = γ t ' + u c 2 y '

Então:

d t ' = γ d t ' + u c 2 d y '

Passo 2

Então a velocidade será:

u y = γ d y ' + u d t ' γ d t ' + u c 2 d y '

Vamos por os d t ' em evidência.

u y = d t ' d y ' d t ' + u d t ' 1 + u c 2 d y ' d t '

u y = d y ' d t ' + u 1 + u c 2 d y ' d t '

u y = u ' y + u 1 + u c 2 u ' y

Resposta

u y = u ' y + u 1 + u c 2 u ' y

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