Enunciado

61. Um sistrema S ' possui um componente x da velocidade igual a u relativa um sistema S e para t = t ' = 0 os dois sistemas coincidem (Figura 37.3 ). Um pulso de luz é emitido na origem de S ' no instante t ' = 0 . Sua distância x ' da origem depois de um tempo t ' é dada por x ' 2 = c 2 t ' 2 . Use as transformções de Lorentz para transformar essa equação essa equação para as coordenadas x e t , a fim de mostrar que o resultado é dada por x 2 = c 2 t 2 ; ou seja, o movimento parece exatamente o mesmo tanto para S quanto para S ' . (Veja a Figura 37.4 ).

Passo 1

Bem, o enunciado fala que temos que usara as transformadas de Lotentz, nesse caso precisaremos das transformadas para a posição e para o tempo, dadas por:

x ' = x - u t 1 - u 2 / c 2 = x - u t γ

t ' = t - u x / c 2 1 - u 2 / c 2 = t - u x / c 2 γ

Agora basta substituir essas transformações em

x ' 2 = c 2 t ' 2

Passo 2

Vamos as constas então, temos que:

x ' 2 = c 2 t ' 2

Substituindo x ' e t ' temos:

x - u t γ 2 = c 2 t - u x c 2 γ 2

⇒ x - u t γ = c t - u x c 2 γ

⇒ x - u t = c t - u x c

Passando o que tem x para um lado e o que tem t para o outro temos:

x 1 + u c = t ( c + u )

Agora isolando 1 / c do lado esquerdo, temos:

x c c + u = t ( c + u )

⇒ x c = t

⇒ x = c t

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

x 2 = c 2 t 2

Chegamos onde queríamos.

Resposta

x ' 2 = c 2 t ' 2 → x 2 = c 2 t 2

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