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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Tipler - Vol 3 - 6ª Ed.

Enunciado

Física - Tipler - Vol 3 - 6ª Ed. - 39.1 - 50

Usando a conservação relativística de momento e energia e a relação entre energia e momento para um fóton E = pc, prove que um elétron livre (um elétron não ligado a um núcleo atômico) não pode absorver ou emitir um fóton.

Passo 1

Fala aee, tranquilo??

Vamos considerar o caso de absorçãode um fóton. Vamos supor que o elétron está inicialmente em repouso e que viaja com uma velocidade v depois de absorver o fóton.

Quando aplicarmos a conservação da energia e a conservação do momento vamos chegar a uma conclusão absurda que, por sua vez, nos obrigará a abandonar nossa suposição inicial de que um elétron pode absorver um fóton. Vamos ver isso!

Quando o elétron absorve um fóton, a conservação do momento relativístico requer que seu momento se torne:

p = γ m v

Da conservação de energia:

m c 2 + p c = γ m c 2

Assim:

p c = γ m c 2 - m c 2

p = γ m c - m c = m c ( γ - 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando as duas equações:

γ m v = γ - 1 m c

γ v = γ - 1 c

v = γ - 1 γ c

Elevando os dois lados ao quadrado:

v 2 = γ - 1 γ 2 c 2

v 2 = γ 2 - 2 γ + 1 γ 2 c 2

Da definição de γ :

γ 2 = 1 1 - v 2 c 2 = c 2 c 2 - v 2

Isolando v :

c 2 - v 2 = c 2 γ 2

c 2 - c 2 γ 2 = v 2

v 2 = c 2 1 - 1 γ 2

Substituindo isso:

c 2 1 - 1 γ 2 = γ 2 - 2 γ + 1 γ 2 c 2

1 - 1 γ 2 = γ 2 - 2 γ + 1 γ 2

γ 2 - 1 γ 2 = γ 2 - 2 γ + 1 γ 2

γ 2 - 1 = γ 2 - 2 γ + 1

- 1 = - 2 γ + 1

γ = 1

Passo 3

Agora, só precisamos substituir esse valor na equação que tínhamos:

v = γ - 1 γ c

Assim:

v = 1 - 1 1 c

v = 0

Pô, então, nossa suposição de que um elétron pode absorver um fóton levou à conclusão contraditória de que sua velocidade após a absorção é zero. Portanto, devemos concluir que o elétron não pode absorver um fóton.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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