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Uma escada homogênea tem 10 m de comprimento e pesa 200 N. Na Fig. 12-76, a escada está apoiada em uma parede vertical sem atrito a uma altura h=8,0 m acima do piso. Uma força horizontal F → é aplicada à escada a uma distância d=2,0 m da base (medida ao longo da escada). (a) Se F=50 N, qual é a força que o piso exerce sobre a escada, em termos dos vetores unitários? (b) Se F= 150 N, qual é a força que o piso exerce sobre a escada, também em termos dos vetores unitários? (c) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é 0,38; para que valor de F a base da escada está na iminência de se mover em direção à parede?

Passo 1

Bom, pra resolver essa questão da forma mais tranquila, a gente precisa fazer duas análises: a análise dos momentos que atuam na escada e o diagrama faz forças que atuam sobre ela. Como a escada está parada (em repouso), então somatório tanto das forças quanto dos momentos deve ser zero. Vamos chamar o ponto que a escada toca o chão de ponto 1 e o ponto em que ela toca a parede de ponto 2. Assim, as reações são do piso sobre a escada são e R 1 y , e as reações da parede sobre a escada são R 2 x e R 2 y = 0 (por que não há atrito na parede). Vamos chamar também de W o peso da escada e θ o ângulo que ela faz com o piso. Agora já estamos pronto pra começar a escrever as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de θ . Tarefa mole essa essa, né?! A escada faz um triângulo retângulo. Então:

θ = a r c s i n h / L - 1 = 53,1 º

Passo 3

Vamos escrever tudo em função das incógnitas, depois a gente substitui pelos valores do problema. Primeiro, vamos fazer o somatório dos momento em relação ao ponto em que a escada toca o piso. Fica assim:

F d s i n θ + W L 2 c o s θ - R 2 x h = 0

Podemos escrever agora as equações dos somatório das forças nas direções horizontal e vertical. Assim, a gente fica com três equações e três incógnitas ( R 1 x , R 1 y e R 2 x ).

Fica dessa forma:

R 1 x + F - R 2 x = 0

R 1 y - W = 0

Resolvendo esse sistema, a gente consegue resolver já as letras (a) e (b).

R 1 x = 2 d F s i n θ + L W c o s θ - 2 F h 2 h

R 1 y = W

Substituindo os valores dos problemas nas equações, a gente tem

(a) R 1 x = 35 N e R 1 y = 200 N . Logo, R 1 → = 35 N i ^ + 200 N j ^

(b) R 1 x = - 45 N e R 1 y = 200 N . Logo, R 1 → = - 45 N i ^ + 200 N j ^

obs; O sinal negativo significa que o sentido da força está na direção contrária do que a gente arbitrou na hora de escrever as equações.

Passo 4

Falta só a gente calcular a força mínima que provocará o escorregamento da escada. Pra isso, basta a gentte dividir R 1 x por R 1 y , sabendo que a relação entre eles, nesta condição de iminência, é R 1 x = μ e R 1 y . Além disso, a escada começara a deslizar quando o atrito estiver apontado para a esquerda. Por isso, como convencionamos R 1 x para a direita, vamos botar um sinal de negativo na conta. Fica assim:

- R 1 x R 1 y = - N μ e N = 2 d F s i n θ + L W c o s θ - 2 F h 2 W h = - μ e

Resolvendo a equação acima pra F, a gente descobre esta condição crítica, que é F = 180 N .

Resposta

(a) R 1 → = 35 N i ^ + 200 N j ^

(b) R 1 → = - 45 N i ^ + 200 N j ^

(c) F = 180 N .

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