Enunciado

Escreva um programa de planilha para representar graficamente a temperatura média da superfície da Terra em função da emissividade, usando os resultados do Problema 22. Quanto a emissividade precisa mudar para que a temperatura média aumente em 1 K? Esse resultado pode ser pensado como um modelo para o efeito de concentrações crescentes de gases de efeito estufa, como metano e CO2 na atmosfera da Terra.

Passo 1

Como a Terra precisa irradiar a mesma quantidade de calor que o calor absorvido pelo sol, caso contrario a Terra não pararia de esquentar, podemos igualar o calor absorvido pela seção transversal (área onde ocorre incidência de radiação solar) da Terra com o calor irradiado pela Terra. Para isso vamos usar a equação de Stefan-Boltzmann:

P T = e σ A T 4

E para a energia absorvida, vamos usar a definição de intensidade:

P s = A t r a n s v e r s a l I

Como 70% da energia irradiada pelo sol é absorvida pela Terra:

P s = 0.70 A t r a n s v e r s a l I

Passo 2

Podemos então igualar as duas expressões:

P T = P S

e σ A T 4 = 0.70 A t r a n s v e r s a l I

E as áreas serão:

A = 4 π R T 2

A t r a n s v e r s a l = π R T 2

Ficamos com:

e σ 4 π R T 2 T 4 = 0.70 π R T 2 I

Passo 3

Por fim, basta isolarmos T e resolvermos a equação:

T = 0.70 I e σ 4 4

Substituindo valores para cada grandeza:

T = 0.70 ( 1370 W / m 2 4 e 5.670 × 10 - 8 W m 2 . K 4   4 = ( 255 K ) e - 1 / 4

Passo 4

Para compararmos os valores, vamos tratar e como uma variável e então derivamos a última expressão com relação a e :

T = B e - 1 / 4

(chamamos 255K de B para facilitar)

d T d e = - 1 4 B e - 5 4

Separando dT:

d T = - 1 4 B e - 5 4 d e

E então dividimos pela própria equação de T do passo 3:

d T T = - 1 4 B e - 5 4 d e B e - 1 / 4 = - 1 4 d e e

Escrevendo em termos de uma diferença:

∆ T T = - 1 4 ∆ e e

∆ e e = - 4 ∆ T T

Substituindo valores:

∆ e e = - 4 1 K 288 K = - 0.014

A emissividade precisaria mudar 1.4 %

E o gráfico será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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