Enunciado

Uma esfera condutora maciça, de raio R , possui uma carga Q . Calcule a densidade de energia do campo elétrico em um ponto situado a uma distância r do centro da esfera para (a) r < R ; (b) r > R . (c) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico associado à esfera carregada. (Dica: Considere uma casca esférica de raio r e espessura d r , com volume d V = 4 π r 2 d r e calcule a energia armazenada neste volume. A seguir, integre de r = 0 até r → ∞ ) (d) Verifique se o resultado da parte (c) pode ser interpretado como o trabalho realizado para carregar a esfera com uma carga Q . (e) Usando a equação U = Q 2 2 C e o resultado da parte (c) , mostre que a capacitância da esfera é C = 4 π ϵ O R .

Passo 1

A densidade de energia é dada por:

u = 1 2 ϵ o E 2

Então para acharmos a densidade de energia basta substituirmos o campo elétrico da esfera condutora nos intervalos dados.

Passo 2

letra a)

Para r < R o campo elétrico será:

E = 0

Então:

u = 0

Passo 3

letra b)

Para r > R o campo elétrico será:

E = Q 4 π ϵ o r

Então a densidade será:

u = 1 2 ϵ o Q 4 π ϵ o r 2 2

u = Q 2 32 π 2 ϵ O r 4

Passo 4

letra c)

A energia total será:

U = ∫ R ∞ u 4 π r 2 d r = 4 π ∫ R ∞ Q 2 32 π 2 ϵ O r 4 r 2 d r 4 π ∫ R ∞ Q 2 32 π 2 ϵ O r 2 d r

U = Q 2 8 π ϵ O - 1 r R ∞

U = Q 2 8 π ϵ O R

Passo 5

letra d)

A energia que encontramos no item anterior é a energia necessária juntar toda a carga numa distribuição esférica.

Passo 6

letra e)

A energia é dada por:

U = Q 2 2 C

E a partir do resultado que achamos no outro item, temos:

Q 2 8 π ϵ O R = Q 2 2 C

1 8 π ϵ O R = 1 2 C

C = 4 π ϵ O R

Resposta

letra a) u = 0

letra b) u = Q 2 32 π 2 ϵ O r 4

letra c) U = Q 2 8 π ϵ O R

letra d)A energia que encontramos no item anterior é a energia necessária juntar toda a carga numa distribuição esférica.

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