Enunciado

Repita o Problema 22.45 , porém agora supondo que a esfera oca grande possua uma carga igual a - 4 q . Como no Problema 22.45 , a esfera oca pequena continua com uma carga + 2 q .

Passo 1

Para saber o campo elétrico em cada situação, precisamos considerar uma superfície gaussiana adequada para cada uma delas e lembrar da lei de Gauss dada por:

Φ E = E A = Q ϵ 0

Primeiramente, supondo uma superfície gaussiana esférica de raio r < a , temos que o seu campo elétrico será nulo por não possuir carga em seu interior.

Na região da superfície interna da esfera oca interna, ou seja, em a < r < b , por se tratar de um condutor carregado, o campo elétrico deve ser nulo.

O mesmo ocorre para c < r < d , por essa ser a região interna da esfera oca maior que também é um condutor sólido carregado.

Já para a superfície gaussiana de raio b < r < c , ela envolve a carga da esfera mais interna com valor + 2 q . Logo, o seu campo elétrico será dado por:

E 4 π r 2 = + 2 q ϵ 0 → E = q 2 π ϵ 0 r 2

Tomando a superfície de raio r > d , a carga total envolvida por ela é a soma das cargas sobre a esfera mais interna e a externa. Logo, o campo elétrico é:

E = 2 q - 4 q 4 π ϵ 0 r 2 → E = - q 2 π ϵ 0 r 2

Os sinais diferentes para os campos elétricos representam o sentido que o campo elétrico possui. Para valor positivo, o campo flui para fora e, para valor negativo, o campo flui para dentro.

Passo 2

O gráfico deste caso pode ser dado por:

Passo 3

Na região da superfície interna da esfera oca pequena, o campo elétrico deve ser nulo. Por conta disso, o fluxo elétrico também é nulo e, logo, não há carga nessa região.

Agora, para uma superfície gaussiana em r > b , ela envolverá a carga sobre a esfera que tem valor de + 2 q . Assim, a carga sobre a superfície externa da esfera pequena é + 2 q .

Da mesma forma, para a superfície interna da esfera oca grande, o campo elétrico em seu interior deve ser nulo. No entanto, como um dos lados dessa esfera oca envolve a carga de + 2 q da esfera menor, a carga no interior da esfera maior deve ser de mesma intensidade e sinal contrário, ou seja - 2 q , para que haja “anulação” das cargas e o campo elétrico seja zero.

Para a última região dada por r > d , como a carga no interior da esfera grande é - 2 q e a carga total sobre ela também é de - 4 q , podemos concluir que a carga na superfície externa dessa esfera tem valor - 2 q .

Resposta

a   i   E = 0

i i   E = 0

i i i   E = q 2 π ϵ 0 r 2

i v   E = 0

v   E = - q 2 π ϵ 0 r 2

b   i   Q = 0

i i   Q = + 2 q

i i i   Q = - 2 q

i v   Q = - 2 q

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