Enunciado

Uma esfera oca de alumínio tem um raio interno de 10   c m e raio externo de 12   c m a 15 ° C . O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,3 × 10 - 5   / ° C . De quantos c m 3 varia o volume da cavidade interna quando a temperatura sobre para 40 ° ? O volume da cavidade aumenta ou diminui?

Passo 1

Vamos fazer um desenho em “corte” da esfera oca antes e depois da expansão:

Quando um corpo se expande pelo efeito da temperatura, todas as suas dimensões lineares crescem igualmente. Isso inclui os “buracos” no seu interior.

É como se você desse um “zoom” no objeto, as suas proporções não devem mudar.

Então podemos tratar a dilatação do raio interno da mesma forma que trataríamos uma esfera inteira.

Passo 2

A fórmula para a dilatação volumétrica é:

Δ V = V 0 γ Δ T

E o coeficiente γ de dilatação volumétrica é o triplo do coeficiente de dilatação linear que foi dado no enunciado:

Δ V = 4 3 π 0,10 3 3 2,3.10 - 5 40 - 15

Δ V = 7,23   .   10 - 6   m 3

Como 10 - 6   m 3 = 1   c m 3 , temos:

Δ V = 7,23   c m 3

Passo 3

Só para garantir que não ficou nenhuma dúvida: por que a esfera não se expande nas duas direções? Por que a dilatação não faz a cavidade fechar?

Uma forma de entender isso é pensar que a expansão quer preservar a forma do objeto. Essa forma inclui a proporção entre o raio interno e o externo.

Para mudar a forma, você teria que aumentar a “tensão” interna do objeto, e isso consome energia. Em outras palavras, o caminho de menor energia é preservar o formato!

Por isso, o volume da cavidade aumenta junto com o volume total da esfera.

Resposta

O volume da cavidade aumenta em 7,23   c m 3 .

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