Enunciado

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Uma espira retangular com largura L e um fio deslizante com massa m estão como indica a figura 29.53. Um campo magnético uniforme B → está orientado perpendicularmente ao plano da espira para dentro do plano da figura. O fio deslizante recebe uma velocidade escalar inicial v 0 e, a seguir, é libertado. Não há atrito entre o fio deslizante e a espira, e a resistência da espira é desprezível em comparação à resistência R do fio.

a Obtenha uma expressão para F , o módulo da força exercida sobre o fio enquanto ele se move a uma velocidade escalar v .

b Mostre que a distância x que o fio percorre antes de atingir o repouso é x = m v 0 R a 2 B 2 .

Passo 1

A partir da imagem podemos indicar as forças que agem sobre a nossa haste em movimento. Assim, temos

Para encontrarmos o que procuramos vamos usar a lei de Faraday para calcular a fem induzida e a lei de ohm para calcular I . Devemos lembrar que quando o fio se move com velocidade v a fem induzida é

ε = B v a

E a corrente induzida será

I = ε R = B v a R

A corrente induzida flui para cima no fio, como mostrado na figura acima, então a força F → exercida pelo campo magnético na corrente induzida é para a esquerda. F → se opõe ao movimento do fio, isso se deve a lei de Lenz. Sendo assim, a magnitude da força será dada por

F = I a B = B v a R ⋅ a B = B 2 a 2 v R

Passo 2

Agora, para demonstrarmos a expressão dada no enunciado vamos começar aplicando a segunda lei de Newton onde teremos

∑ F → = m a x

Onde poderemos encontrar

a x = - F m = - B 2 a 2 v m R

Lembrando-se que a x = d v / d t temos

d v d t = - B 2 a 2 v m R → d v v = - B 2 a 2 m R d t

Integrando ambos os lados vamos encontrar

∫ v 0 v d v ' v ' = - B 2 a 2 m R ⋅ ∫ 0 t d t '

ln ⁡ v v 0 = - B 2 a 2 t m R → v t = v 0 ⋅ e - B 2 a 2 t m R  

Agora, precisamos reparar que quando t = 0 ,   v = v 0   e   v → 0   então t → ∞ . Dessa forma, resolvendo para x t vamos encontrar

x = v 0 ⋅ - m R B 2 a 2 ⋅ e - B 2 a 2 t ' m R 0 t = m R v 0 B 2 a 2 ⋅ 1 - e - B 2 a 2 t m R

No repouso temos v = 0 e isso acontece quando t → ∞ . Então vamos ter

x = m R v 0 B 2 a 2

Resposta

a F =   B 2 a 2 v R

b   d e m o n s t r a ç ã o

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