Enunciado

A esfera 1, de raio R1, possui uma carga positiva q. A esfera 2, de raio, 2,00R1 , está muito afastada da esfera 1 e inicialmente descarregada. Quando as esferas são ligadas por um fio suficientemente fino para que a carga que contém possa ser desprezada, (a) o potencial V1 , da esfera 1 se torna maior, menor ou igual ao V2 da esfera 2? (b) Que fração da carga q permanece na esfera 1? (c) Que fração da carga q é transferida para a esfera 2? (d) Qual é a razão σ 1 / σ 2 entre as densidades superficiais de carga das duas esferas?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui temos uma situação de distribuição de cargas elétricas entre diferentes esferas.

Temos duas esferas de raios diferentes, onde uma tem raio R1 e a outra raio 2,00R1. A esfera 1 é carregada e depois conectada por um fio desprezível na esfera 1.

Passo 2

Bem, para resolver o item (a), devemos lembrar que quando duas esferas são conectadas por um condutor a carga dentro delas entra em equilíbrio e, portanto, o potencial das duas é igual.

Para descobrir o quanto de carga permanece na esfera 1, item (b), vamos primeiro lembrar que o enunciado diz que a esfera 2 estava descarregada, antes de ser ligada a esfera 1. Portanto, temos que a carga inicial, q, da esfera 1 é :

q = q 1 + q 2

Agora, vamos utilizar o fato de as esferas terem o mesmo potencial e:

V 1 = V 2

q 1 4 π ε 0 R 1 = q 2 4 π ε 0 R 2

q 1 R 1 = q 2 R 2

Substituindo q2 e colocando q1/q em evidência:

q 1 R 1 = q - q 1 R 2

q 1 1 R 1 + 1 R 2 = q R 2

q 1 q R 2 R 1 + R 2 R 2 = 1

q 1 q = 1 R 2 R 1 + 1

q 1 q = 1 2,00 R 1 R 1 + 1 = 1 3

Passo 3

Para o item (c), vamos utilizar a responda do item (b). Como q 1 q = 1 3 , a carga que sobrou, 2/3q, fica totalmente na segunda esfera.

q 2 q = 2 3

Passo 4

Agora para o item (d), vamos utilizar a definição de densidade superficial de cargas:

σ = q 4 π R 2

Portanto, podemos achar a razão:

σ 1 / σ 2 = q 1 / 4 π R 1 2 q 2 / 4 π R 2 2

σ 1 / σ 2 = q 1 R 2 2 q 2 R 1 2 = q 1 q 2 R 2 R 1 2  

σ 1 / σ 2 = q 3 2 q 3 2 R 1 R 1 2 = 1 2 2 1 2 = 2

σ 1 / σ 2 = 2,00

Resposta

(a) V 1 = V 2

(b) q 1 q = 1 3

(c) q 2 q = 2 3

(d) σ 1 / σ 2 = 2,00

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