Enunciado

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Uma esfera transparente de índice de refração n , espelhada numa calota A B da sua superfície, com centro em C (fig.), é usada como retro-refletor: qualquer raio 1 paralelo ao eixo C D e paraxial (próximo ao eixo) é refletido em C e volta em sentido inverso (raio 2, fig.). Calcule o índice n .

Passo 1

O primeiro passo é fazer um desenho esquemático desenhando os ângulos:

Note que temos um triângulo isósceles la dentro, por isso pude marcar dois ângulos b . Além disso, note que

a + 180 ° - 2 b = 180 °

Logo,

a = 2 b

Passo 2

Agora basta aplicar a lei de Snell:

n a r   s e n   a = n   s e n   b

Como n a r = 1 , segue que

n = s e n   a s e n   b

Mas sabemos que a = 2 b . Logo,

n = s e n   2 b s e n   b

Passo 3

Como

s e n   2 b = 2   s e n   b cos ⁡ b ,

temos que

n = 2   s e n   b cos ⁡ b s e n   b = 2 cos ⁡ b

Por fim, fazemos a aproximação paraxial:

b ≪ 1 ⇒ cos ⁡ b → 1

Assim,

n = 2

Resposta

n = 2

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