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No experimento de Young, com a luz incidindo perpendicularmente sobre o anteparo onde estão os dois orifícios, coloca-se uma lâmina delgada transparente de faces paralelas e índice de refração n sobre um dos dois orifícios. Isso produz um deslocamento de m franjas na figura de interferência (a franja central brilhante desloca-se para a posição que era ocupada pela franja brilhante de ordem m ). O comprimento de onda da luz é λ . Qual é a espessura d da lâmina?

Passo 1

Primeiro vamos considerar a situação do experimento de fenda dupla sem a lâmina delgada. Nessa situação, a defasagem se dá exclusivamente pela diferença de caminho

Δ x = d '   s e n   θ

Portanto, a diferença de fase é

Δ = k a r   Δ x = 2 π λ ⋅ d '   s e n   θ

Como queremos que a intereferência seja construtiva, fazemos a defasagem ser um múltiplo inteiro de 2 π :

2 π λ   d '   s e n   θ = t ⋅ 2 π ,           t ∈ Z

Com isso,

s e n   θ = t λ d '

Mas usando a aproximação de ângulos pequenos:

s e n   θ = tan ⁡ θ = y D

Portanto,

t λ d ' = y D

Portanto, as posições dos máximos no anteparo são:

y = t λ D d '

Passo 2

Agora vamos considerar a situação em que na fenda superior colocamos a lâmina delgada cuja espessura é d . Note que a distância entre as fendas é d ' ≠ d .

Nessa situação, temos duas fontes de defasagem: a diferença de caminho após a luz sair das fendas e a diferença de caminho ótico devido à passagem pela lâmina delgada:

Δ = k a r   Δ x - k l a m i n a   d

Com isso,

Δ = 2 π λ d ' s e n   θ + 2 π λ d - 2 π λ l a m i n a d

Mas usando a relação de refração, sabemos que o comprimento de onda da luz na lâmina é

λ l a m i n a = λ n

Assim,

Δ = 2 π λ d ' s e n   θ - n - 1   d

Vamos substituir

s e n   θ = y D

Portanto,

Δ = 2 π λ d ' y D - ( n - 1 )   d

Para que a interferência seja construtiva, devemos ter

Δ = t ' ⋅ 2 π

Logo,

t ' λ = d ' y D - ( n - 1 )   d

Passo 3

Antes de colocarmos a lâmna delgada, tínhamos que as posições dos máximos eram:

y = t λ D d '

Após colocarmos a lâmina:

t ' λ = d ' y D - ( n - 1 )   d

Onde inicialmente nós tínhamos o m -ésimo máximo, isto é, t = m , agora nós temos o primeiro, isto é, t ' = 0 . Substituindo isso nas equações:

y = m λ D d '               e           d ' y D - ( n - 1 ) d = 0

Substituindo a primeira equação na segunda:

d ' D ⋅ m λ D d ' = ( n - 1 ) d

Logo, a espessura da lâmina é:

d = m λ n - 1

Resposta

d = m λ n - 1

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