Enunciado

Esferas ocas concêntricas. Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno a e raio externo b , é concêntrica com uma grande esfera oca condutora, com raio interno c e raio externo d (Figura 22.39 ). A carga total sobre a esfera oca interna é igual a + 2 q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a + 4 q . a Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em função da distância r ao centro comum para as regiões i   r < a ; i i   a < r < b ; i i i   b < r < c ; i v   c < r < d ; v   r > d . Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de E → em função da distância r . b Qual é a carga total sobre i a superfície interna da esfera oca pequena; i i a superfície externa da esfera oca pequena; i i i a superfície interna da esfera oca grande; i v a superfície externa da esfera oca grande?

Passo 1

Para saber o campo elétrico em cada situação, precisamos considerar uma superfície gaussiana adequada para cada uma delas e lembrar da lei de Gauss dada por:

Φ E = E A = Q ϵ 0

Agora, vamos dar uma olhada em como ficaria essa configuração dada no enunciado, aonde temos duas esferas ocas concêntricas, cada um com raio interno e externo:

Primeiramente, supondo uma superfície gaussiana esférica de raio r < a , temos que o seu campo elétrico será nulo por não possuir carga em seu interior.

Na região da superfície interna da esfera oca interna, ou seja, em a < r < b , por se tratar de um condutor carregado, o campo elétrico deve ser nulo. (O campo elétrico dentro de condutores é sempre nulo, beleza?)

Já para a superfície gaussiana de raio b < r < c , ela envolve a carga da esfera mais interna com valor + 2 q .

Logo, o seu campo elétrico será dado por:

E 4 π r 2 = + 2 q ϵ 0 → E = q 2 π ϵ 0 r 2

Já para c < r < d , por essa ser a região interna da esfera oca maior que é um condutor carregado, seu campo elétrico será nulo.

Por fim, tomando a superfície de raio r > d , a carga total envolvida por ela é a soma das cargas sobre a esfera mais interna e a externa.

Logo, o campo elétrico é:

E = 2 q + 4 q 4 π ϵ 0 r 2 → E = 3 2 q π ϵ 0 r 2

Passo 2

O gráfico deste caso pode ser dado por:

Passo 3

Na região da superfície interna da esfera oca pequena, o campo elétrico deve ser nulo. Por conta disso, o fluxo elétrico também é nulo e, logo, não há carga nessa região.

Agora, para uma superfície gaussiana em r > b , ela envolverá a carga sobre a esfera que tem valor de + 2 q . Assim, a carga sobre a superfície externa da esfera pequena é + 2 q .

Da mesma forma, para a superfície interna da esfera oca grande, o campo elétrico em seu interior deve ser nulo. No entanto, como um dos lados dessa esfera oca envolve a carga de + 2 q da esfera menor, a carga no interior da esfera maior deve ser de mesma intensidade e sinal contrário, ou seja - 2 q , para que haja “anulação” das cargas e o campo elétrico seja zero.

Para a última região dada por r > d , ambas as cargas sobre as esferas estão envolvidas e, logo, a carga total sobre a superfície externa da esfera oca grande é a soma das cargas que resulta em + 6 q .

Resposta

a   i   E = 0

i i   E = 0

i i i   E = q 2 π ϵ 0 r 2

i v   E = 0

v   E = 3 2 q π ϵ 0 r 2

b   i   Q = 0

i i   Q = + 2 q

i i i   Q = - 2 q

i v   Q = + 6 q

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