Enunciado

O espalhamento Rutherford é a deflexão de uma partícula carregada (massa m , carga Z e ) por outra (massa M , carga Z ' e ), sob ação da força coulombiana. Supomos M ≫ m , de modo que a partícula de massa M pode ser tratada como um centro de forças fixo. Para Z e Z ' de mesmo sinal e sendo a partícula de massa m lançada a partir de uma grande distância da outra, com velocidade inicial v 0 e parâmetro de choque b . A órbita de m é uma hipérbole, ilustrada na figura ao lado. (a) Escreva o potencial efetivo V e f ( r ) em função de b e v 0 . (b) Calcule a distância r 0 de máxima aproximação entre as duas partículas, como função de b   e v 0 .

Passo 1

Bom, olha aí, galera, essa situação só tem forças externas, certo? Então a gente pode conservar a energia! No início, só tinha energia cinética da partícula se movendo. Depois, ela muda de velocidade porque parte dessa energia vira potencial elétrica!

m v 0 2 2 = k Q q r + m v 2 2

v 2 = v 0 2 - 2 k Q q m r

Passo 2

Só que a gente também pode conservar o momento angular, né?

m b v 0 = m r v

v = v 0 b r

Substituindo na conservação da energia:

v 0 2 b 2 r 2 = v 0 2 - 2 k Z e Z ' e r

v 0 2 b 2 r 2 - 1 = - 2 k Z Z ' e 2 r

E aí a gente vai escrever uma equação do segundo grau em r .

- r 2 v 0 2 + b 2 v 0 2 = - 2 k Z Z ' e 2 r

v 0 2 r 2 - 2 k Z Z ' e 2 r - b 2 v 0 2 = 0

Resolvendo, a gente vai chegar em duas resposta, mas temos que escolher a positiva, porque é uma distância!

r = b 2 v 0 4 + k 2 Z 2 Z ' 2 e 4 - k Z Z ' e 2 v 0 2

Passo 3

E vamos calcular esse tal potencial efetivo, que a gente achou a expressão geral na questão 6.

V e f = U r + L 2 2 m r 2

Aqui, o nosso potencial é a energia potencial elétrica, e o momento angular L é m v 0 b .

V e f = k Z e Z ' e r + m v 0 b 2 2 m r 2

V e f = k Z Z ' e 2 r + m v 0 2 b 2 2 r 2

Resposta

r = b 2 v 0 4 + k 2 Z 2 Z ' 2 e 4 - k Z Z ' e 2 v 0 2

V e f = k Z Z ' e 2 r + m v 0 2 b 2 2 r 2

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