Enunciado

Uma estrutura rígida triangular é construída com três hastes iguais e seu plano é vertical, com a base horizontal. Nos dois outros lados estão enfiadas duas bolinhas idênticas de massa m, atravessadas por um arame rígido e leve AB, de modo que podem deslizar sobre as hastes com atrito desprezível, mantendo sempre o arame horizontal. As duas bolinhas também estão ligadas por uma mola leve de constante elástica k e comprimento relaxado l 0 . a) Mostre que uma expressão para a energia potencial do sistema em função do comprimento l da mola é U l = 1 2 k   l - l 0 2 - m g 3 l . b) Para que valor de l o sistema está em equilíbrio? c) Se soltamos o sistema na situação em que a mola está relaxada, qual é o maior valor de l no movimento subsequente? d) Que tipo de movimento o sistema realiza no caso c) ?

Passo 1

  1. Vamos compor nossa energia potencial com a energia elástica e com a energia potencial gravitacional, ok? A gente já sabe que
  2. U e l = 1 2 k Δ l 2 = 1 2 k   l - l 0 2

    Se quisermos achar a energia potencial gravitacional a gente precisa de um referencial onde será nosso potencial 0, dependendo de onder escolhermos isso vai nos dar a fórmula do enunciado ou não. Por isso que ele pede pra mostrar que é “uma” expressão e não “a” expressão do potencial.

    Como a a energia potencial está negativa na fórmula vamos colocar nosso potencial 0 lá em cima, no topo do triângulo, fechou? Fica assim

    U g =   - 2 m g d

    Só precisamos calcular agora a distância d em função de l , vamos dar um pulinho na trigonometria e notar que d   é a altura de um triângulo equilátero de base l . Agora ficou mole né? Haha, fica assim

    d = l 2 3

    U g =   - 2 m g l 2 3

    U t o t = 1 2 k   l - l 0 2 - m g 3 l

    Passo 2

  3. Se a gente for pensar em desenhar forças e componentes talvez fique complicado demais, então vamos lá simplificar essa parada. Já sabemos a força resultante desse sistema... Mas como? Vem comigo!
  4. F r e s = - d U d l

    =   - k l - l 0 + m g 3

    Se o problema quer o equilíbrio então F r e s = 0

    m g 3 = k l - k l 0

    l = m g 3 k + l 0

    Passo 3

  5. Como sabemos que na posição do equilíbrio a mola está mais distendida que l 0 , ao soltarmos com velocidade nula ela vai se esticar, certo? E mesmo atingindo o equilíbrio de forças terá velocidade para continuar se esticando. Ou seja, a lógica aqui é calcular o momento em que sua velocidade de descida seja 0 e não a força resultante 0 ( atenção nisso hein, rs ). Em v = 0   a mola vai subir de novo. Mas como a gente calcula isso? Chega junto!
  6. Se a velocidade inicial da mola é 0 e a final também, quer dizer que o trabalho resultante na mola foi de 0, wow! Pronto, agora que é só calcular quando W e l = W g .

    Δ U e l = Δ U g

    1 2 k Δ l 2 =   m g 3   Δ l

    Δ l 1 2 K Δ l - m g 3 = 0

    A q u i   o u   Δ l = 0   o u   1 2 K Δ l - m g 3 = 0

    1 2 K Δ l - m g 3 = 0

    Δ l = 2 m g 3 k

    l m á x = 2 m g 3 k + l 0

    Passo 4

  7. Galera, sabemos que nossa força é do tipo F l = - k Δ l + C , portanto nosso sistema é oscilante como um sistema massa - mola comum, pois é descrito pelo mesmo tipo de equação. Ou seja, o movimento é do tipo harmônico simples.

Resposta

b ) l = m g 3 k + l 0

c )   l m á x = 2 m g 3 k + l 0

d )   M H S

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