Enunciado

Uma partícula de massa m e velocidade inicial u colide elasticamente com outra de massa M , inicialmente em repouso no referencial de laboratório. Após a colisão, a partícula de massa m foi defletida de um ângulo de 90 ° , e a magnitude de sua velocidade foi reduzida para u 3 . A partícula de massa M emerge da colisão com velocidade de magnitude v , numa direção que faz um ângulo θ   com u . A) Determine θ ; b) Calcule a razão λ = M / m e o valor de v . C) Determine os ângulos θ m '   e   θ M ' entre as direções de movimento finais de m e M, respectivamente, e a direção de u , no referencial do CM.

Passo 1

  1. Vamos observar a situação pra facilitar o raciocínio, chega junto

  • Situação inicial
  • Situação final
  • Também se liga como fica a conservação do momento linear do sistema desenhada

    Assim, podemos escrever

    t g θ = P ' m P m

    = m u m u 3   = 1 3

    Portanto nosso ângulo é o arco cuja tangente é 1 3 , ou seja,

    θ = 30 °

    Passo 2

  • Olhando para nosso triângulo com os momentos vamos ver que
  • P M ' 2 = P m 2 + P m ' 2

    Agora, como a colisão é elástica, pela conservação da energia cinética

    T i = T f

    Em função dos momentos lineares as energias cinéticas se tornam

    P m 2 2 m = P m ' 2 2 m + P ' M 2 2 M

    P M ' 2 = 2 M 2 m P m 2 - P m ' 2

    M m P m 2 - P m ' 2 = P m 2 + P m ' 2

    Usando M m = λ , como pedido no enunciado fica assim ó

    P m 2 λ - 1 - P m ' 2 λ + 1 = 0

    Substituindo os momentos iniciais e finais da partícula de massa m , nossa equação se torna

    m 2 u 2 λ - 1 - m 2 u 2 3 λ + 1 = 0

    λ - 1 - λ + 1 3 = 0

    2 λ 3 - 4 3 = 0

    Finalmente, obtemos as razões entre as massas

    λ = 2

    Agora, pra achar v   é só usar nossa equação inical de novo

    P M ' 2 = P m 2 + P m ' 2

    M 2 v 2 = m 2   u 2 + u 2 3

    v 2 = m 2 M 2     u 2 + u 2 3

    = 1 λ 2   u 2 + u 2 3

    = 1 4 4 u 2 3

    = u 2 3

    v = u 3

    Passo 3

  • Agora que sabemos as razões entre as masssa vamos escrever
  • V ⃑ c m = m u ⃑ + M . 0 m + M

    = m u ⃑ 3 m = u ⃑ 3

    Galera, aqui o nosso vetor velocidade u ⃑ está na direção positiva do eixo x, por isso fica assim

    V ⃑ c m = u 3   i ^

    Pelo nosso esqueminha da situação final lá em cima vemos que a massa m vai na direção do eixo y e por isso sua velocidade relativa em relação ao centro de massa é dada por

    v ⃑ m - V ⃑ c m = u 3   j ^ - u 3   i ^

    Para calcular o ângulo desse vetor com relação ao centro de massa vamos usar o produto escalar

    a ⋅ b = a b c o s θ

    c o s θ = a ⋅ b a b

    Como a gente quer cular o ângulo entre os vetores “velocidade relativa ao centro de massa” e “velocidade do centro de massa” temos o seguinte,

    a = V ⃑ c m

    = u 3   i ^

    a = u 3  

    b = v ⃑ m - V ⃑ c m

    = u 3   j ^ - u 3   i ^

    b = u 3 2 + - u 3 2

    = 4 u 2 9

    = 2 3 u

    Show! Já temos quase tudo, só falta calcular o produto escalar. Vem comigo!

    a ⋅ b = u 3   i ^ ⋅   u 3   j ^ - u 3   i ^

    = - u 2 9 i ^ ⋅ i ^ + u 2 3 3 i ^ ⋅ j ^  

    Como i ^ ⋅ j ^ =   0 , nosso produto se torna

    a ⋅ b =   - u 2 9

    Finalmente, aplicando a propriedade do produto escalar fica assim

    c o s θ m ' = - u 2 9 u 3   . 2 3 u

    = - u 2 9 2 u 2 9

    =   - 1 2

    θ ' m = a r c o s - 1 2 = 120 °  

    Passo 4

    Fazendo a mesma coisa para descobrir θ M ' vamos escrever v ⃑ , que faz 30 ° com a horizontal

    v ⃑ = u 3 c o s 30 °   i ^ - s e n 30 °   j ^

    = u 2   i ^ - u 2 √ 3   j ^

    Para a velocidade relativa temos

    v ⃑ - V ⃑ c m

    = u 2   i ^ - u 2 √ 3   j ^ - u 3   i ^

    = u 6   i ^   - u 2 √ 3   j ^

  • b =   u 6   i ^   - u 2 √ 3   j ^
  • b = u 6 2 + - u 2 √ 3 2

    = u 2 36 + u 2 12

    = 4 u 2 36

    2 u 6 = u 3

  • a ⋅ b =

u 3   i ^ ⋅ u 6   i ^ - u 2 √ 3   j ^

= u 2 18

Agora só falta juntar tudo e descobrir o coseno, desse jeito

c o s θ M ' = u 2 18 u 3 . u 3 = 1 2

θ M ' =   6 0 °

Resposta

a )   θ = 30 °

b ) λ = 2 .     v = u 3

c )   θ m ' = 120 °   .     θ M ' = 6 0 °

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