Enunciado

Um vagão ferroviário de brinquedo, de 250 g , viajando a 0,50 m / s , dirige-se para um outro vagão, de 400 g , que está inicialmente em repouso. (a) Determine a energia cinética total do sistema de dois vagões. (b) Determine a velocidade de cada vagão no referencial do cnetro de massa e use estas velocidades para calcular a energia cinética do sistema de dois vagões no referencial do centro de massa. (c) Determine a energia cinética associada ao movimento do centro de massa do sistema. (d) Compare sua resposta da parte a) com a soma das suas respostas das partes b) e c).

Passo 1

a) Oláaa, cê tá bem?

Temos dois vagões na nossa situação. Vamos anotar os dados. A massa do vagão 1 é m 1 = 250   g = 0,25   k g e a do 2 é m 2 = 400   g = 0,4   k g . As velocidades iniciais deles são

v 1 = 0,5   m / s

v 2 = 0

Isso porque o vagão 2 está inicialmente em repouso. E o que ele pede é a energia cinética total do sistema de dois vagões.

Cara, determinar a energia cinética do sistema é calcular a energia cinética de cada corpo em movimento num dado instante e somar.

A energia cinética do nosso sistema é a energia do vagão 1, que é o único em movimento. A energia cinética é dada por

K = m v 2 2

Então para o vagão 1, temos:

K i = m 1 v 1 2 2

K i = 0.250 × 0.5 2 2

K i = 31 m J

O vagão 2 não influencia aqui porque ele está em repouso, ou seja, tem energia cinética nula.

Passo 2

b) Para achar a velocidade de cada vagão em relação ao centro de massa, a gente precisa da velocidade do centro de massa.

A gente quer então a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois vagões. Como não há menção de forças externas sobre eles, a gente pode usar a lei da conservação de quantidade de movimento:

∑ m i v i = v c m M

Onde M é a massa total do sistema, ou seja, a soma das massas de cada vagão:

M = m 1 + m 2     i

∑ m i v i representa a soma das quantidades de movimento de cada vagão. A quantidade de movimento é dada por p → = m v → , então essa soma para o nosso caso fica:

∑ m i v i = m 1 v 1 + m 2 v 2     i i

E v c m é a velocidade do centro de massa do sistema que gente quer achar. Então vamos substituir i e i i na lei da conservação:

∑ m i v i = v c m M

m 1 v 1 +   m 2 v 2 = ( m 1 + m 2 ) v c m

Isolando v c m

v c m =   m 1 v 1 +   m 2 v 2 ( m 1 + m 2 )

e substituindo os valores numéricos na equação acima:

v c m = 0.250 × 0,50 + 0.400 × 0 0.250 + 0.400

v c m = 0.192 m / s

Passo 3

Para achar as velocidades com relação ao centro de massa, tudo que a gente precisa fazer é subtrair a velocidade do centro de massa da velocidade no referencial em relação ao solo:

u 1 = v 1 - v c m = 0.50 - 0.192 = 0.31 m / s

u 2 = v 2 - v c m = 0 - 0.192 = - 0.19   m / s  

A energia cinética com relação ao centro de massa é o sistema é a soma das energias cinéticas de cada vagão. Só que agora a gente usa a velocidade de um vagão relativa ao centro de massa do sistema, então a energia cinética de um vagão vai ser:

K = m u 2 2

Logo, a energia do sistema vai ser:

K r e l = m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2

Percebe que agora os dois vagões influenciam na energia porque os dois tem velocidade não nula em relação ao centro de massa. Substituindo os valores:

K r e l = 0.250 × 0.31 2 + 0.400 × 0.19 2 2

K r e l = 19 m J

Passo 4

c) A energia cinética do centro de massa ( K c m ) é dada por:

K c m =   1 2 m t o t a l v c m 2

Ou seja, a gente usa a fórmulinha da energia cinética, mas a massa vai ser a massa total do sistema e a velocidade é a velocidade do centro de massa

K c m = m 1 + m 2 v c m 2 2

K c m = 0.250 + 0.400 0.192 2 2 = 12 m J  

Passo 5

d) Essa foi nossa resposta na a)

K i = 31 m J

A soma das energias encontradas nas letras b)   K r e l = 19 m J e c)   K c m = 12 m J é:

K r e l + K c m = 31 m J

Percebemos que

K i = K r e l + K c m

E isso está de acordo com a energia cinética de um sistema que diz que a energia cinética total do sistema K i é igual a energia cinética do centro de massa do sistema K c m mais a energia relativa ao centro de massa de cada objeto do sistema K r e l .

Resposta

  1. K i = 31 m J
  2. K r e l = 19 m J
  3. K c m = 12 m J
  4. K i = K r e l + K c m
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