Enunciado

Faça um desenho de uma roda situada no plano do papel e girando no sentido anti-horário. Escolha um ponto sobre a circunferência e desenhe um vetor r → ligando o centro com esse ponto. a) Qual é a direção e o sentido de ω → ? b) Mostre que a velocidade desse ponto é dada por v → = ω → × r → . c) Mostre que a aceleração radial desse ponto é dada por   a → r a d = ω → × v → = ω → × ). (Veja o Exercício 9.28.)

Passo 1

E aí! Tudo certinho?

Bom, vamos lá. Primeira coisa que a gente vai fazer é o que o enunciado pede: desenhar uma roda situada no plano do papel e girando no sentido anti-horário, e desenhar um vetor r → que vai do centro até um ponto da roda.

Fica assim:

Beleza, isso feito, vamos para a primeira pergunta!

Passo 2

  1. Aqui queremos a direção e sentido da velocidade angular ω → , e vamos responder isso olhando para figura!

Então, para velocidade angular geralmente a gente fala que ela está no sentido horário ou anti-horário, mas tem uma forma mais “correta” de dar essa direção que é pela regra da mão direita.

Para isso, você precisa abraçar a velocidade angular com os dedos da mão direita na direção da rotação, para onde o seu polegar apontar é a direção da velocidade angular.

Se fizermos isso no caso da nossa roda, vamos ver que o nosso polegar aponta para fora do plano da página.

Por convenção, o eixo x é para direita, o y para cima e o z para fora do plano da página.

Portanto a nossa velocidade angular está na direção do eixo z e no sentido positivo, ou seja, para fora do plano da página.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos verificar para a letra b) se:

v → = ω → × r →

Para isso, eu vou desenhar a roda novamente:

Podemos ver que ω → está na direção do eixo z positivo.

ω → = ω   k ^

E também podemos ver que r → está no sentido do eixo y positivo.

r → = r   j ^

Portanto, se fizermos o produto vetorial, teremos:

ω → × r → = ω   k ^ × r   j ^ = ω r   k ^ × j ^

O produto vetorial entre k ^ × j ^ é igual a - i ^ , portanto, temos:

ω → × r → = ω r - i ^

Ou seja, esse produto vetorial dá num vetor que aponta na direção negativa do eixo x .

E se olharmos para a nossa figura, no ponto que estamos avaliando a velocidade aponta realmente para essa direção, afinal a roda gira no sentido anti-horário:

Portanto o vetor velocidade tem a mesma direção que o produto vetorial ω → × r →

Show?

Passo 4

  1. Como ω → é perpendicular a v → , então temos que o módulo do produto vetorial é: | ω → × v → | = ω v

Pela Regra da mão direita, o vetor resultante se encontra na direção de r → .

Analisando as unidades da velocidade angular e velocidade, teremos:

1 s m s = m s 2

Opa, repara que m / s 2 é unidade de aceleração. Desta forma temos que:

ω → × v → = a r a d

Se a roda girar no sentido horário, as direções de ω → e v → estão invertidos, mas a a r a d ainda está para o centro.

E então! O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. A velocidade angular está na direção do eixo z e no sentido positivo.
  2. Como demonstrado no Passo 3.
  3. Como demonstrado no Passo 4.
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