Enunciado

b) Prove que os dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial; ou seja, prove que A → × B → = - B → × A → .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Vamos calcular o produto vetorial por componentes. Vamos supor os vetores A → e B → e decompo-los em componentes:

A → = A x , A y , A z

B → = B x , B y , B z

E a partir daí mostrar que A → × B → = - B → × A → .

Veja só! 😬

Passo 2

Vamos calcular, primeiro, o produto vetorial A → × B → :

i j z A x A y A z B x B y B z

Calculando o determinantes, temos:

D e t =   A y ⋅ B z - A z ��� B y   i + A z ⋅ B x - A x ⋅ B z j + A x ⋅ B y - A y ⋅ B x z

Agora vamos calcular o outro produto vetorial, - B → × A → :

Se encontrarmos o mesmo valor, conseguimos provar que o produto vetorial é anticomutativo.

i j z - B x - B y - B z A x A y A z

Calculando os determinantes, temos:

D e t = - B y A z - - B z A y ]   i + - B x A z j + - B x A y - - B y A x z

Reorganizando os sinais, temos:

D e t = A y B z - A z B y i + A z B x - A x   B z j + A x B y - A y B x )  

Agora, vamos comparar o resultado de cada componente dos dois determinantes, o que nos mostra que um é o negativo do outro.

Portanto, vemos que

A → × B → = - B → × A →

Legal, né? O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

A → × B → = - B → × A →

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