Enunciado

Por meio de desenhos simples dos produtos vetoriais apropriados, demonstre que

b) | A → × B → | pode ser interpretado como o produto do módulo de A →   vezes o componente de B →   perpendicular a A → , ou o módulo de B → vezes o componente de A →   vezes o componente de A → perpendicular a B → .

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos que mostrar que | A → × B → | pode ser interpretado como o produto do módulo de A →   vezes o componente de B →   perpendicular a A → , ou o módulo de B → vezes o componente de A →   vezes o componente de A → perpendicular a B → .

Tem ideia de como fazemos isso? 😊

Sabemos que a fórmula do módulo de um produto vetorial é:

A → × B → = A B ⋅ sen ⁡ θ

O que vamos fazer é demonstrar através da área de um paralelogramos que conseguimos encontrar essa fórmula.

Veja só! 👀

Passo 2

O paralelogramo formado pelos vetores tem a seguinte forma:

Para calcular a área desse paralelogramo vamos dividir ele em dois triângulos, pois assim podemos usar a fórmula da área.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Como podemos perceber, dividimos a área do paralelogramo em dois triângulos iguais, ou seja, se acharmos a área do triângulo conseguimos encontrar a área do paralelogramo.

S p a r a l e l o g r a m o = 2 ⋅ S t r i â n g u l o

Para calcular a área do triângulo precisamos achar a altura relativa a base.

Considerando h a altura relativa à base, ou seja, a componente vertical de B → em relação à A → ,   temos que :

h B = sen ⁡ θ

h = B ⋅ sen ⁡ θ

bacana, não é? 😉

Passo 4

Como a fórmula da área de um triângulo é:

b a s e ⋅ a l t u r a 2 = S t r i â n g u l o

Substituindo valores, temos:

A ⋅ h 2 = S t r i â n g u l o

Escrevendo h em função de B → :

S t r i â n g u l o = A ⋅ B ⋅ sen ⁡ θ 2

Como já sabemos a relação da área do triângulo e do paralelogramo, temos que:

S p a r a l e l o g r a m o = 2 ⋅ S t r i â n g u l o = A ⋅ B ⋅ sen ⁡ θ

Logo, como podemos ver, um produto vetoria A → × B → pode ser escrito como:

A → × B → = A ⋅ B ⋅ sen ⁡ θ = A ⋅ h

Onde B ⋅ sen ⁡ θ é a componente de B →   perpendicular a A → .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

A → × B → = A ⋅ B ⋅ sen ⁡ θ = A ⋅ h

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