Enunciado

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Na Fig. 12-70, duas esferas iguais, homogêneas e sem atrito, de massa m, repousam em um recipiente retangular rígido. A reta que liga os centros faz 45º com a horizontal. Determine o módulo da força exercida sobre as esferas (a) pelo fundo do recipiente, (b) pela parede lateral esquerda do recipiente, (c) pela parede lateral direita do recipiente e (d) por uma das esferas sobre a outra. (Sugestão: a força de uma esfera sobre a outra tem a direção da reta que liga os centros das esferas.)

Passo 1

Bom, o exercício pede que a gente calcule todas as forças que agem sobre o sistema. Como o sistema está em equilíbrio, a gente precisa fazer o diagrama de corpo livre pra cada uma das esferas. O somatório de todas as forças de cada diagrama deve ser zero. Como não existe atrito, todas as forças de contato são apenas normais, ou seja, perpendiculares a superfície de contato. Pra gente dar nome aos bois, vamos chamar de F o módulo da força de contato entre as esferas, F 1 o módulo da força do fundo do recipiente sobre a esfera de baixo, F 2 o módulo da força da parede esquerda sobre a esfera de baixo, e F 3 o módulo da força da parede direita sobre a esfera de cima.

Passo 2

Vamos, agora, fazer o diagrama de corpo livre da esfera de cima. Como o sistema está em equilíbrio, a gente tem duas equações, uma pra direção horizontal e outra pra vertical

F c o s 45 º = F 3

F 3 s i n 45 º = m g

Logo, de cara a gente já consegue os valores F e F 3 simplesmente resolvendo o sistema. Fazendo isso, a gente obtém.

F = m g / s i n 45 º = 2 m g

F 3 = m g

Com isso a gente já mata as letras (c) e (d). Mas vamos continuar agora fazendo o diagrama de corpo livre da esfera de baixo. As equações ficam assim, pra direção horizonta e vertical, respectivamente

F 2 = F c o s 45 º

F 1 = F s i n 45 º + m g

Como a gente já tem o valor de F , ai fica fácil. Só substituir nas duas equações de cima.

F 2 = m g

F 1 = 2 m g

Resposta

(a) F 1 = 2 m g

(b) F 2 = m g

(c) F 3 = m g

(d) F = m g

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