Enunciado

Uma esfera maciça homogênea tem uma massa de 1,0 × 10 4 k g e um raio de 1,0 m. Qual é o módulo da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância de (a) 1,5 m e (b) 0,50 m do centro da esfera? (c) Escreva uma expressão geral para o módulo da força gravitacional sobre a partícula a uma distância r ≤ 1,0 m do centro da esfera.

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, show de bolinha com vocês?

Saca só, nesse exercício aqui, a gente quer encontrar a força gravitacional que uma esfera maciça de 1,0 × 10 4 k g e um raio de 1,0   m exerce sobre uma partícula.

E segundo o teorema de Gauss, se o ponto estiver dentro da esfera a uma distância r do centro, a gente leva em consideração no cálculo da aceleração somente quantidade de massa dentro uma esfera de raio. Se o ponto estiver fora, então a gente leva em consideração a massa total da esfera. Dito isto, a gente já consegue resolver a questão.

Primeiro a gente precisa calcular a densidade da esfera.

A figura a seguir mostra a partícula do lado de fora da esfera

Na letra (a), como o ponto está fora da esfera, a gente leva em consideração a massa total da esfera.

F = G m M T o t a l r 2

F = 6.67 × 10 - 11 N m 2 k g 2 1.0 × 10 4 k g m 1.5   m 2

F = m 3,0 × 10 - 7 N / k g

Portanto, a força gravitacional entre a esfera e uma partícula a uma distância de 1.5 m é de F = m 3,0 × 10 - 7 N / k g

Passo 2

No item (b), só uma parte da esfera que entra na conta. Vamos calcular a massa que está dentro da esfera imaginária de raio 0,50 m.

A figura a seguir mostra a partícula dentro da esfera

Se uma partícula está localizada dentro de uma esfera sólida uniforme a uma distância r de seu centro, a força gravitacional exercida sobre a partícula é devida apenas à massa M i n s que está dentro de uma esfera de raio r.

Passo 3

A expressão para a massa M i n s é

M i n s = ρ 4 π r 3 3         ( 1 )

Onde,

M i n s é a massa da esfera limitada pelo raio r dentro da esfera

ρ é a densidade da esfera.

A expressão para a força gravitacional entre a esfera de massa M i n s e uma partícula de massa m localizada dentro da casca.

F ' = G M i n s m r 2             ( 2 )

Onde

F ' está localizada a força gravitacional entre a esfera de massa M i n s e uma partícula de massa m localizada dentro da esfera.

Substituindo a equação (1) para reescrever a equação (2).

F ' = G ρ 4 π r 3 3 m r 2                 ( 3 )

Logo, a expressão geral para a magnitude da força gravitacional sobre a partícula a uma distância r ≤ 1.0   m do centro da esfera é ( 4 π ρ G m r ) / 3 .

Passo 4

Reescrevendo a equação (3)

F ' = 4 π ρ G m r 3

Substituindo

F ' = 4 π ( 2.4 × 10 3 k g / m 3 ) ( 6.67 × 10 - 11 N m 2 / k g 2 ) m ( 0.50   m ) 3

F ' = ( 3.3 × 10 - 7 N / k g ) m

Portanto, a força gravitacional do centro da esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância de 0.50 m é de ( 3.3 × 10 - 7 N / k g ) m .

Passo 5

No item (c) Reescrevendo a equação (3)

F ' = 4 π ρ G m r 3

Substituindo

F ' = ( 4 π ) ( 2.4 × 10 3 k g / m 3 ) ( 6.67 × 10 - 11 N m 2 / k g 2 ) ( m r ) 3

F ' = m r ( 6.7 × 10 - 7 N / k g ⋅ m )

Portanto, uma expressão geral para a magnitude da força gravitacional na partícula a uma distância r ≤ 1.0   m do centro é de ( 6.7 × 10 - 7 N / k g ⋅ m ) m r .

Resposta

(a) F = m 3,0 × 10 - 7 N / k g

(b) F ' = ( 3.3 × 10 - 7 N / k g ) m .

(c) F ' = ( 6.7 × 10 - 7 N / k g ⋅ m ) m r  

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