Enunciado

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A Fig. 13-42 mostra a energia potencial U(r) de um projétil em função da distância da superfície de um planeta de raio R s . Se o projétil é lançado verticalmente para cima com uma energia mecânica de - 2,0 × 10 9 J , determine (a) a energia cinética a uma distância r = 1,25 R s e (b) o ponto de retorno (veja a Seção 8-6) em função de R s .

Passo 1

Bom, analisando o gráfico, a gente percebe que quanto mais a distância do planeta aumenta, menor a energia potencial fica. A energia do projétil na superfície do planeta é U s = - 5,0 × 10 9 J E a gente sabe também que ela é inversamente proporcional a r. Então, como 1,25 = 5 / 4 , a gente tem que a energia potencial dele à uma distância de 1,25 R s fica

U = 4 5 U s = - 4,0 × 10 9 J

Pelo princípio da conservação de energia mecânica, toda energia potencial deve ser transformada em energia cinética. Como a energia mecânica total é - 2,0 × 10 9 J , a gente consegue calcular a energia cinética K .

K + U = - 2,0 × 10 9 J

K - - 4,0 × 10 9 J = - 2,0 × 10 9 J

K = 2,0 × 10 9 J

Passo 2

Passo 3

O ponto de retorno é caracterizado por uma energia cinética nula, já que o projétil tem que parar pra começar a retornar ao planeta. Então é só jogar k = 0 na conservação de energia mecânica e calcular qual o em que isso ocorrerá. Então

0 + U = - 2,0 × 10 9 J

U = - 2,0 × 10 9 J

Como a gente sabe que U decresce inversamente proporcional a r. Vamos chamar a distância r do ponto de retorno de r = c R s , onde c é uma constante. Fazendo isso, a gente tem que

U = 1 c U s = - 2,0 × 10 9 J

1 c - 5,0 × 10 9 J = - 2,0 × 10 9 J

c = 2,5

Logo, o ponto de retorno acontecerá em r = 2,5 R s .

Resposta

(a) K = 2,0 × 10 9 J

(b) r = 2,5 R s

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