Enunciado

Uma forma de atacar um satélite em órbita da Terra é disparar uma saraivada de projéteis na mesma órbita do satélite, no sentido oposto. Suponha que um satélite em órbita circular, 500   k m acima da superfície da Terra, colida com um projétil de massa 4,0   g . (a) Qual é a energia cinética do projétil no referencial do satélite imediatamente antes da colusão? (b) Qual é a razão entre a energia cinética calculada no item (a) e a energia cinética de uma bala de 4,0   g disparada por um rifle moderno das forças armadas, ao deixar o cano com uma velocidade de 950   m / s ?

Passo 1

Vamos lá, temos um satélite orbitando a Terra tranquilamente, com um raio de órbita R s = 500   .   10 3   m .

De repente, querendo derrubar esse satélite, alguém coloca um monte de projéteis na mesma órbita, só que na direção oposta. No caso, a letra (a) só se interessa em um projétil específico de massa m p = 4,0   g .

A primeira pergunta é: no referencial do satélite, qual é a energia cinética do projétil logo antes da colisão. Então vamos ver a fórmula da energia cinética e ver o que está faltando:

K = m v 2 2

Já temos a massa do projétil, que é m p , falta a velocidade no referencial do satélite.

Passo 2

Beleza, primeiro vamos lembrar uma coisa, a velocidade de um objeto em órbita é dada por essa fórmula aqui:

v = G M r

Isso quer dizer que se o raio de órbita r é o mesmo, então as velocidades são iguais! (Se os objetos estão orbitando o mesmo corpo, claro).

Então vamos calcular a velocidade de um objeto qualquer orbitando a Terra a 500   .   10 3 metros da superfície. (Lembre-se que pra achar o r da fórmula, precisamos somar o raio da Terra a esse valor).

v =   6,67   .   10 - 11 . 5,98   .   10 24 ( 6370   .   10 3 + 500   .   10 3 ) = 7,6   .   10 3   m / s

E como “colocar” isso no referencial do satélite logo antes da colisão? Tranquilo, sabemos que em uma colisão frontal, a velocidade de um corpo em relação ao outro é só a soma das velocidades!

Como nesse caso os dois têm velocidades iguais, a velocidade relativa v r vai ser simplesmente o dobro da velocidade v que calculamos!

v r = 2 v = 1,5   .   10 4   m / s  

Passo 3

Agora já podemos calcular a energia cinética!

K = m p v r 2 2

K =   0,004 . 1,5.10 4 2 2 = 4,5   .   10 5   J

Resolvido! Agora vamos pra letra (b).

Passo 4

(b) Nem precisamos de gravitação pra resolver essa, é só calcular a energia cinética de uma bala com m = 4   g = 0,004   k g e velocidade v = 950   m / s .

K ' = m v 2 2 = 0,004 . 950 2 2 = 1,8   .   10 3

E a razão entre as duas energias vai ser:

K K ' = 4,5.10 5 1,8.10 3 =   2,5   .   10 2

Pronto!

Resposta

(a) K = 4,5   .   10 5   J

(a) K K ' = 2,5   .   10 2

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