Enunciado

Uma onda senoidal que se propaga em uma corda é mostrada duas vezes na figura, antes e depois que o pico A se desloque 6,0   c m no sentido positivo de um eixo x em 4,0   m s . A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10   c m ; H = 6,0   m m . Se a equação da onda é da forma y x , t = y m s e n ( k x ± ω t ) , determine (a) y m , (b) k , (c) ω e (d) o sinal que precede ω .

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício o enunciado nos deu uma onda senoidal que se propaga em uma corda em dois momentos diferentes, antes e depois que o pico A se desloque de uma distância d = 6,0   cm no sentido positivo de um eixo x em 4,0   ms .

E sabendo que a distância entre as marcas do eixo horizontal é 10   cm e H = 6,0   mm , dado a equação da onda y x ,   t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t ) , o enunciado pede pra gente encontrar, na era (a), amplitude y m do movimento.

Belezoca, a amplitude é a altura dos picos da onda, ou a distância máxima que a onda atinge em relação ao eixo x .

Se a gente reparar no gráfico, vamos ver que essa distância máxima é a metade daquela altura H que está marcado do lado, afinal é distância máxima entre os extremos da corda, sendo assim:

y m = H 2

Como H = 6,00   mm vamos obter que:

y m = 6,0 0 2

y m = 3,0 0   mm

Passo 2

Iradoso, agora na letra (b) queremos encontrar o número de onda k , que segue essa fórmula aqui:

k = 2 π λ

Onde λ é o comprimento de onda. Uma forma da gente encontrar esse comprimento do gráfico é contando a distância, no eixo x , ocupada por um pico somado a um vale.

Como cada marca no eixo x vale 10   cm = 0,10   m , e temos 4 marcas entre dois vales (ou dois picos), então o comprimento de onda será:

λ = 0,40   m

E então:

k = 2 π 0,40

k = 1 6   rad/m

Passo 3

Show de bolinhas, já na letra (c) precisamos determinar o valor da frequência angular ω , pra isso vamos precisar da fórmula:

ω = 2 π f

MAAASSS, aqui vamos precisar de toda malandragem, afinal o enunciado não nos deu informações tão diretas assim sobre a frequência f , então podemos lembrar que:

f = v λ

Onde v é a velocidade da onda que podemos medir através das informações do enunciado, já que ela percorre 6,0   cm em 4,0   ms , logo:

v = 6,0 × 10 - 2   m 4 × 10 - 3   s

v = 15   m/s

Sendo assim, f será:

f = 15 λ

E como vimos que λ = 0,40 , obtemos que:

f = 15 0,40

f = 37,5   Hz

Portanto, a frequência angular ω é dada como:

ω = 2 π f

ω = 2 π 37,5

ω = 2,4 × 10 2   rad/s

Passo 4

Por último, na letra (d) o sinal que fica atrás do ω sempre depende do sentido em que a onda se propaga (nunca mais podemos esquecer disso), logo:

Onda se propagando no sentido positivo → Sinal negativo no   ω

Onda se propagando no sentido negativo → Sinal positivo no  ω

No nosso caso, o enunciado disse que a onda se propaga no sentido positivo, então ω tem um sinal negativo. Portanto:

y x ,   t = 3,00   mm sen ⁡ 16 x - 2,4 × 10 2 t

Prontinho galera!

Resposta

(a) y m = 3,0 0   mm  

(b) k = 16   rad/m  

(c) ω = 2,4 × 10 2   rad/s

(d) Negativo: y x ,   t = 3,00   mm sen ⁡ 16 x - 2,4 × 10 2 t

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