Enunciado

Na Fig. 21 -25, quatro partículas formam um quadrado. As cargas são q 1   =   q 4   =   Q e q 2   =   q 3   =   q . (a) Qual deve ser o valor da razão Q / q para que a força eletrostática total a que as partículas 1 e 4 estão submetidas seja nula? (b) Existe algum valor de q   para o qual a força eletrostática a que todas as partículas estão submetidas seja nula? Justifique sua resposta.

Passo 1

A dica pra resolver uma questão desse tipo é analisar as forças que atuam sobre cada uma delas. Aqui temos as seguintes cargas: q 1   =   q 4   =   Q e q 2   =   q 3   =   q .

Como a letra (a) nos pede para analisar as cargas 1 e 4 , vamos nos concentrar só nelas por enquanto:

Agora pare e pense: o que precisa acontecer para que as forças resultantes em 1 e 4 sejam diferentes?

Veja que, para isso, é preciso que não hajam componentes de força resultante nem na vertical nem na horizontal em cada um desses pontos. Então vamos fazer ali um somatório de forças e encontrar a tal razão Q / q .

Passo 2

Vamos escolher um dos pontos para fazermos o somatório das forças verticais, aqui pegaremos o ponto 1.

∑ F v 1 = F 31 +   F 41 × cos ⁡ 45 º = 0

Substituindo as equações de força elétrica para as combinações e o valor de cosseno de 45 temos:

K q 3   q 1 a 2 + K q 4     q 1 a 2 2 × 2 2 = 0

Do enunciado, q 3 = q e q 1 = q 4 = Q e também podemos cortar o K :

q Q a 2 + Q 2   a 2 2 × 2 2 = 0

Se a gente dividir geral por Q 2 chegaremos um pouco mais perto da nossa razão, bora fazer isso?

q a 2 Q + 1 2 a 2 × 2 2 = 0

Opa, tá ali, to vendo a razão! Agora vamos passar alguns termos pro outro lado e multiplicar todo mundo por a 2 :

q Q = - 2 4

Ih mas o enunciado pediu o inverso!

Q q = - 4 2 = - 2 2

Show de bolinhas? Vamos pro próximo!

Passo 3

Na letra (a) a gente só analisou as forças atuantes na vertical sobre a partícula 1 . Como o sistema é simétrico na diagonal, repare que a mesma coisa acontece para a partícula 4 . Resta pra gente, então, só analisar uma das partículas 2 ou 3 , já que também existe simetria com relação à diagonal 1 - 4 do quadrado.

Fazendo isso, a gente encontra (analisando na direção horizontal a partícula 2):

Fazendo o somatório das forças horizontais no ponto 2 temos:

∑ F H 2 = F 12 + F 32 cos ⁡ 45 º = 0

K q 1   q 2 a 2 + K q 3     q 2 a 2 2 × 2 2 = 0

K Q q a 2 + K q 2 a 2 2 × 2 2 = 0

Dividindo essa expressão por K q 2 e multiplicando ela por a 2 , a gente se depara com isso:

Q q + 2 2 × 1 2 = 0

Q q = - 2 4

Eita! Esse valor é diferente do que o que encontramos no passo 2 ( - 2 √ 2 ) . Isso significa que esse sistema físico não pode ser possível e, portanto, “não existe algum valor de q   para o qual a força eletrostática a que todas as partículas estão submetidas seja nula”.

Resposta

  1. - 2 √ 2
  2. Não
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