Enunciado

A Fig. 21-30 mostra um sistema de quatro partículas carregadas,com θ   =   30,0 ° e d   =   2,00   c m . A carga da partícula 2 é q 2   =   + 8,00 ×   10 - 19   C ; a carga das partículas 3 e 4 é q 3   =   q 4   =   -   1,60 × 10 - 19   C . (a) Qual deve ser a distância D entre a origem e a partícula 2 para que a força que age sobre a partícula 1 seja nula? (b) Se as partículas 3 e 4 são aproximadas do eixo x mantendo-se simétricas em relação a esse eixo, o valor da distância D é maior, menor ou igual ao do item (a)?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😬

Nesse problema temos um sistema com quatro partículas em que q 2 , q 3 e q 4 foram dados e nosso objetivo é calcular a distancia D de modo que a força que age sobre a partícula 1 seja nula e se 3 e 4 se aproximarem do eixo x D deve aumentar ou diminuir...

Parece dificil? 🤔

Pra gente calcular a força total sobre a partícula 1 , basta somarmos as forças ocasionadas pelas outras partículas sobre ela. Nós não sabemos se carga q 1 é positiva ou negativa, apenas sabemos que q 3 e q 4 são negativas, enquanto q 2 é positiva. Logo, as forças feitas pelas cargas q 3 e q 4 são opostas ao efeito da carga q 2 . Supondo que a carga q 1 é positiva, temos as forças mostradas abaixo:

Lembrando que cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais diferentes se atraem!

Podemos decompor as forças no eixo x e no eixo y .

Vamos fazer isso olhando apenas para as componentes de força na direção x nesse momento:

F r e s , x =   F 31 cos ⁡ θ + F 41 cos ⁡ θ - F 21 = 0

Lembrando que a força é dada pela equação:

F = K .   q a   .   q b r 2

Onde K é a constante eletrostática; q a é a carga da primeira carga; q b é a carga da segunda carga e r é a distância entre as duas cargas.

Bora lá! 😉

Passo 2

Olha pra essas distâncias que eu separei pra você e vamos montar juntos as equações:

A distância que vamos usar entre a carga 3 e a carga 1 é:

r 31 = d c o s θ

Logo a força que a carga 3 gera na carga 1 é igual a:

F 31 =   K q 3 q 1 d c o s θ 2

A distância que vamos usar entre a carga 4 e a carga 1 é:

r 41 = d c o s θ

A mesma coisa que a carga 3, pois elas são simétricas em relação ao eixo x . Logo a força que a carga 4 gera na carga 1 é igual a:

F 41 =   K q 4 q 1 d c o s θ 2

A distância entre a carga 2 e a carga 1 é:

r 21 = d + D

Logo a força será igual a:

F 21 =   K q 2 q 1 d + D 2

Usando os valores das cargas em módulo:

F r e s , x =   K q 3 q 1 d c o s θ 2 cos ⁡ θ + K q 4 q 1 d c o s θ 2 cos ⁡ θ - K q 2 q 1 d + D 2 = 0

Vamos colocar primeiramente os termos K q 3 q 1 em evidência:

K q 1 q 3 d c o s θ 2 cos ⁡ θ + q 4 d c o s θ 2 cos ⁡ θ - q 2 d + D 2 = 0

Se dividirmos os dois lados por esse termo em evidência:

q 3 d c o s θ 2 cos ⁡ θ + q 4 d c o s θ 2 cos ⁡ θ - q 2 d + D 2 = 0

Elevando os denominadores ao quadrado:

q 3 d 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ + q 4 d 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ - q 2 d 2 + 2 d D + D 2 = 0

Simplificando as frações:

q 3 d 2 cos 3 ⁡ θ + q 4 d 2 cos 3 ⁡ θ - q 2 d 2 + 2 d D + D 2 = 0

q 3 + q 4 cos 3 ⁡ θ d 2 =   q 2 d 2 + 2 d D + D 2

Tranquilo aé aqui? 😬

Passo 3

Vamos substituir os valores para continuar? O que ele nos deu no enunciado foi:

  • q 3   =   q 4   =   -   1,60 × 10 - 19   C
  • q 2   =   + 8,00 ×   10 - 19   C
  • θ   =   30,0 ° e d   =   2,00   c m

Logo, vamos apenas utilizar o módulo das cargas:

1,60 . 10 - 19 + 1,60 . 10 - 19 cos 3 ⁡ 30 ° ( 2.10 - 2 m ) 2 =   8,00 .   10 - 19 ( 2.10 - 2 m ) 2 + 2 ( 2.10 - 2 m ) D + D 2

Fazendo algumas contas:

3,2 . 10 - 19 . 0,65 4   .   10 - 4 = 8,00 .   10 - 19 4   .   10 - 4 + 4   .   10 - 2 D + D 2  

0,52   .   10 - 15 = 8,00 .   10 - 19 4   .   10 - 4 + 4   .   10 - 2 D + D 2

Passando a expressão em função de D para o numerador:

4   .   10 - 4 + 4   .   10 - 2 D + D 2 = 8,00 .   10 - 19 0,52   .   10 - 15  

Vamos fazer a divisão do outro lado:

D 2 + 4   .   10 - 2 D + 4   .   10 - 4 = 15,39   .   10 - 4

D 2 + 4   .   10 - 2 D - 11,39   .   10 - 4 = 0

Temos uma função do segundo grau né, logo:

D = - 4.10 - 2 ±   4.10 - 2 2 - 4   .   1   .   - 11,39   .   10 - 4 2

D = - 4.10 - 2 ±   16   .   10 - 4 + 45,56   .   10 - 4 2  

D = - 4.10 - 2 ±   61,56   .   10 - 4 2

D = - 4.10 - 2 ±   7,85   .   10 - 2 2

Como a distância D deve ser positiva:

D = - 4.10 - 2 +   7,85   .   10 - 2 2  

D = 3,85   .   10 - 2 2

Chegamos em D , temos:

D = 1,92   c m

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Perceba que, desenvolvendo a expressão anterior:

K q 3 q 1 d c o s θ 2 cos ⁡ θ + K q 4 q 1 d c o s θ 2 cos ⁡ θ - K q 2 q 1 d + D 2 = 0

E chegamos em q 3 + q 4 cos 3 ⁡ θ d 2 =   q 2 d 2 + 2 d D + D 2

Olhe bem para essa expressão. O que acontece se o ânculo θ diminuir?

Se ele diminui, 3 coisas acontecem:

O valor de c o s ⁡ ( θ ) aumenta;

Nisso, cos 3 ⁡ ( θ ) ⁡ aumenta consequentemente;

Para compensar do outro lado o aumento do numerador do lado 1, devemos diminuir o denominador do lado 2. Como d não irá ser alterado, só podemos mudar D . Logo precisamos diminuir esse D !

Então, a gente pode afirmar com certeza que se as partículas 3 e 4 são aproximadas do eixo x ( o que faz com que θ diminua), então a distância D também deve diminuir. Nesse caso, ela será menor que a do item a).

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

a) 1,92   c m

b) Menor

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