Enunciado

Na Fig. 21-31, as partículas 1 e 2 , de carga q 1   =   q 2   =   +   3,20 × 10 - 19   C , estão no eixo y , a uma distância d   =   17,0   c m da origem. A partícula 3 , de carga q 3   =   + 6,40 ×   10 - 19     C , é deslocada ao longo do eixo x , de x = 0   até x =   + 5   c m . Para que valor de x o módulo

da força eletrostática exercida pelas partículas 1 e 2 sobre a partícula 3 é (a) mínimo e (b) máximo? Qual é o valor (c) mínimo e (d) máximo do módulo?

Passo 1

Shoow galerinha, mais uma bem parecida com a anterior, ok?

Vamos colocar no desenho?

A trigonometria nos diz que:

r 13 = r 23 = x 2 + d 2

Nós podemos tirar mais uma informação importante aqui para usarmos la na frente, o cosseno!!

O problema não nos deu o ângulo, mas a trigonometria nos diz que:

cos ⁡ θ = x x 2 + d 2

Belezaa !! Agora vamos guardar esta informação no nosso coração !!

Passo 2

Agora que sabemos todas as distâncias entre as cargas, o que fazemos?

Lembramos da Lei de Coulomb, certo?

F q Q = 1 4 π ε 0 q Q r 2

Onde q e Q são as cargas, r   a distância e ε 0 é a constante elétrica que vale 8,85 × 10 - 12 C 2 N m 2 .

Agora vamos calcular as forças eletrostáticas que atuam na carga 3?

F 13 = 1 4 π ε 0 q 1 q 3 r 13 2 = k q 1 q 3 r 13 2

F 23 = 1 4 π ε 0 q 2 q 3 r 23 2 = k q 2 q 3 r 23 2

Como a força está sendo aplicada na carga 3 de forma angular, teremos uma componente dela na direção x e outra na y, certo?

Como as cargas 1 e 2 são as mesmas, assim como o ângulo que els fazem com o eixo x, as componentens na direção y se anulam, não é?

Então vamos olhar as forças em x:

F r e s u l t a n t e = F 13 ,   x + F 23 , x  

Lembrando mais uma vez da trigonometria:

F r e s u l t a n t e = F 13 cos ⁡ θ + F 23 cos ⁡ θ

Vamos substituir as forças e o cosseno ?

F r e s u l t a n t e = k q 1 q 3 r 13 2 x x 2 + d 2 + k q 2 q 3 r 23 2 x x 2 + d 2

Sabemos que:

q 1 = q 2 = q = +   3,20 × 10 - 19   C

q 3   =   + 6,40 ×   10 - 19     C

r 13 = r 23 = x 2 + d 2

d   =   17,0   c m

Então:

F r e s u l t a n t e = k q q 3 x 2 + d 2 2 x x 2 + d 2 + k q q 3 x 2 + d 2 2 x x 2 + d 2

F r e s u l t a n t e = 2 k q q 3 x 2 + d 2 3 2 x

O problema nos disse mais uma coisa muito importante, que x vai de x = 0   até x =   5   c m , portanto a força mínima é obtida quando x = 0 !

E a força máxima?

Simples !! Basta nós derivarmos e igualarmos a zero:

d F r e s u l t a n t e d x = 2 k q q 3 x 2 + d 2 3 2 - 3 2 x x 2 + d 2 1 2 ( 2 x ) x 2 + d 2 3 = 0

x 2 + d 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + d 2 1 2 x 2 + d 2 3 = 0

x 2 + d 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + d 2 1 2 = 0

x 2 + d 2 3 2 = 3 x 2 x 2 + d 2 1 2

x 2 + d 2 = 3 x 2

d 2 = 2 x 2

Isolando x:

x = d 2

Substituindo d :

x = 17   c m 2 = 12   c m

Ihuuuul !! Já achamos (a) e (b), mas ainda precisamos de achar (c) e (d) !!

Passo 3

Nas letra (c) e (d) precisamos achar o valor da força, ok?

No primeiro caso temos x = 0   c m :

F r e s u l t a n t e = 2 8,99 × 10 9 N m 2 C 2 3,20 × 10 - 19   C 6,40 ×   10 - 19     C 0 2 + 17 2 3 2 0

F r e s u l t a n t e = 0   N

Molezinha, né?

Agora quando x = d 2 :

F r e s u l t a n t e = 2 k q q 3 d 2 d 2 2 + d 2 3 2 = 2 k q q 3 d 2 3 d 2 2 3 2

F r e s u l t a n t e = 2 8,99 × 10 9 N m 2 C 2 3,20 × 10 - 19   C 6,40 ×   10 - 19     C 0,17 2 3 × 0,17 2 2 3 2

F r e s u l t a n t e = 4,9 × 10 - 26   N

E chegamos ao fim de mais uma !!

Resposta

  1. x = 0
  2. x = 12   c m
  3. F r e s = 0
  4. 4,9 × 10 - 26   N
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