Enunciado

Na Fig. 23-50, uma esfera maciça de raio a   =   2,00   c m é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b   =   2,00 a e raio externo c   =   2,40 a . A esfera possui uma carga uniforme q 1   =   +   5   , 00   f C   e a casca possui uma carga q 2   =   - q 1 . Determine o módulo do campo elétrico

( a ) em r   =   0 ;

( b ) em r   =   a / 2,00 ;

( c ) em r   =   a ;

( d ) em r   =   1,50 a ;

( e ) em r   =   2,30 a ;

( f ) em r   =   3,50 a .

Determine a carga

( g ) na superfície interna e

( h ) na superfície externa da casca.

Passo 1

Faaaaala galerinha, animados?

Então bora laa ...

Nós queremos achar o campo elétrico, certo? Então vamos usar a Lei de Gauss:

∮ A E ⋅ d A = q i n t ϵ 0

Resolvendo a integral:

∮ A E ⋅ d A = E A = E 4 π r 2

E igualando:

E 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

E = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Passo 2

Agora nós precisamos saber que no caso da esfera maciça interna q = q 1 para uma volume de 4 3 π a 3 , e por termos uma carga uniforme podemos aplicar a regra de três para a carga interna de uma esfera de raio a com r < a :

q 1     →       4 3 π a 3

q i n t     →       4 3 π r 3

Onde q é a carga da esfera amarela com um raio de a < r . Então:

q i n t = q 1 r 3 a 3 = q 1 r a 3

Substituindo o valor da carga interna que encontramos na fórmula do campo elétrico de uma esfera, então o campo elétrico nessa situação será:

E = q 1 r a 3 4 π r 2 ϵ 0

E = q 1 r 4 π a 3 ϵ 0

Na letra (a) nos foi dito que r = 0 , então substituindo nós temos:

E = q 1 ⋅ 0 4 π a 3 ϵ 0 = 0 N C

De boas??

Passo 3

E para a letra (b) temos que r = a 2 , substituindo na fórmula que achamos:

E = q 1 × a 2 4 π ϵ 0 a 3 = q 1 8 π ϵ 0 a 2

Sabendo que:

q 1   =   +   5   , 00 × 10 - 15 C

a   =   0,0 2   m

ϵ 0 =   8.85 × 10 - 12   C 2 N m 2

Então:

E =   5 × 10 - 15 8 π ⋅ 8,85 × 10 - 12 ⋅ 2 × 10 - 2 2 = 5,62 × 10 - 2   N C

Preparados para a (c)??

Passo 4

Já a letra (c) nós queremos o campo elétrico para r = a , ou seja o campo elétrico na superfície da esfera de raio a . Pela Lei de Gauss, que:

Φ E = q 1 ϵ 0 = E ⋅ 4 π r ²

Substituindo o raio:

E ⋅ 4 π a ² = q 1 ϵ 0

E = q 1 4 π a 2 ϵ 0

Então substituindo os valores para encontrar o campo elétrico na superfície da esfera amarela nós temos:

E = 5 × 10 - 15 4 π ⋅ 8,85 × 10 - 12 ⋅ 2 × 10 - 2 2 = 112,4 × 10 - 3 N C

Passo 5

Na letra (d) nós temos um caso diferente, a < r < b ? A Lei de Gauss já nos disse que:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

Só que a carga interna na esfera de raio r ainda continua sendo a carga na esfera amarela e que é igual a q 1 então:

E = q 1 4 π r 2 ϵ 0

Nesse caso r = 1,5 a . Portanto:

E = q 1 4 π ( 1,5 . a ) 2 ϵ 0

Substituindo:

E = 5 × 10 - 15 4 π ⋅ 1.5 ⋅ 2 × 10 - 2 2 × 8.85 × 10 - 12 = 5 × 10 - 2 N C

Passo 6

Na letra (e) o caso também é diferente, certo? Agora teremos um b < r < c !!

Nesse caso, por se tratar de uma casca condutora, a carga negativa da casca esférica que foi completamente atraída para a superfície interna da casca, pela carga positiva de mesmo módulo presente na esfera maciça de raio a . Logo não precisamos fazer toda a análise do passo 1. Logo a nossa carga interna dessa região �� igual a:

q i n t = q 2 + q 1 = - q 1 + q 1 = 0   C

Então o campo elétrico na letra e que nos dá r = 2.3 a será de:

E = q i n t 4 π r 2 ϵ 0 = 0   N

Passo 7

Quando nós temos r > c observamos a mesma situação da anterior.

A carga total dentro da esfera de raio c é nula, já que a carga da esfera amarela se anula com a da casca. Então para a letra (f) temos:

q i n t = 0   C

E, por isso:

E = 0   N

Passo 8

As letras g e h nos pede para determinar a carga na superfície interna e externa da nossa casca esférica.

Veja bem, o que acontece com essa casca esférica quando tem aquela esfera carregada concêntrica a ela:

Pelo fenômeno de indução eletrostática, a esfera no centro de carga q 1 atrai as cargas de mesmo módulo e sinal diferente da casca esférica para a superfície interna da mesma. Isso só ocorre por que a casca esférica é condutora!

Como a carga líquida será zero:

q i n t + q 1 = 0

q i n t = - q 1 = - 5 f C

Portanto, a carga da superfície interna será - 5 f C .

Agora, precisamos saber o que acontece com a superfície externa dessa casca esférica!

Como ela é condutora, podemos dizer que toda sua carga estará em suas superfícies, no caso, temos aqui a superfície interna e a externa, sabemos que a interna é negativa e vale - 5 f C , sobre a externa não sabemos nada...

Mas podemos dizer que a carga total apresentada pela casca será:

q 2 = q i + q e

- q 1 = q i + q e

Substituindo o que temos:

- 5 f C = - 5 f C + q s e

q e = 0

Ufaaa !! Essa foi bem puxada !!

Mas se vocês olharem com muita atenção e carinho vocês vão tirar de letra !!

Resposta

(a) 0

(b)   5,62 × 10 - 2   N C

(c)   112.4 × 10 - 3 N C

(d)   5 × 10 - 2 N C

(e) 0

(f) 0

(g) - 5 f C

(h) 0

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