Enunciado

A Fig. 30-54 mostra duas regiões circulares, R 1 e R 2 , de raios r 1 = 20,0   c m e r 2 = 30,0   c m . Em R 1 existe um campo magnético uniforme de módulo B 1 = 50,0   m T dirigido para dentro do papel e em R 2 existe um campo magnético uniforme de módulo B 2 = 75,0   m T dirigido para fora do papel (ignore os efeitos de borda). Os dois campos estão diminuindo à taxa de 8,50   m T / s . Calcule o valor ∮ E → ⋅ d s → (a) para a trajetória 1; (b) para a trajetória 2; (c) para a trajetória 3.

Passo 1

Essa é uma questão que usa a lei de Faraday na forma integral: a integral de linha do campo elétrica sobre um circuito fechado se relaciona com a variação do fluxo magnético sobre a região limitada por esse circuito:

∮ E → ⋅ d s → = - d Φ B d t

Assim, basta considerarmos variação do fluxo no tempo que termos a integral pedida.

No item (a) vamos focar na trajetória 1. Como o circuito é percorrido no sentido anti-horário, vamos convencionar a normal para fora da folha. Como o campo aponta para dentro, o fluxo será negativo:

Φ B = - B 1 ⋅ A 1 = - B 1 π r 1 2

Assim,

∮ E → ⋅ d s → = - d Φ B d t = π r 1 2 d B 1 d t

Como foi dito que o campo diminui a uma taxa constante, temos que

d B 1 d t = - 8,50 ⋅ 10 - 3   T / s

Assim, com r 1 = 0,2 00   m , temos que

∮ E → ⋅ d s → = - 1,07 ⋅ 10 - 3   V

Passo 2

Para o item (b) vamos focar na trajetória 2 (horária), de modo que vamos convencionar a normal para dentro da folha. Como o campo é para fora, o fluxo será negativo:

Φ B = - B 2 A 2 = - B 2 π r 2 2

Portanto,

∮ E → ⋅ d s → = - d Φ B d t = π r 2 2 d B 2 d t

Analogamente, temos que

d B 2 d t = - 8,50 ⋅ 10 - 3   T / s

Assim,

∮ E → ⋅ d s → = - 2,40 ⋅ 10 - 3   V

Passo 3

Por fim, considerando o a trajetória 3 (anti-horária) com normal para fora da folha:

Φ B = - B 1 A 1 + B 2 A 2 = π   r 2 2 B 2 - r 1 2 B 1

Assim,

∮ E → ⋅ d s → = - d Φ B d t = π r 2 2 - r 1 2 d B d t

Portanto,

∮ E → ⋅ d s → = 1,33 ⋅ 10 - 3   V

Resposta

- 1,07 ⋅ 10 - 3   V

- 2,40 ⋅ 10 - 3   V

+ 1,33 ⋅ 10 - 3   V

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