Enunciado

Na Fig. 3.30, um cubo de aresta a tem um dos vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas x y z . A diagonal do cubo é uma reta que vai de um vértice a outro do cubo, passando pelo centro. Em termos dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujas coordenadas são (a) ( 0 ,   0 ,   0 ) (b) ( a ,   O ,   O ) (c)   ( 0 ,   a ,   O ) e (d) ( a ,   a ,   O ) ? (e) Determine os ângulos que as diagonais do cubo fazem com as arestas vizinhas. (f) Determine o comprimento das diagonais de cubo em termos de a .

Passo 1

Então galera , para os primeiros itens precisaremos basicamente olhar para a figura e achar o segmento de reta que liga o vértice indicado como vértice diametralmente oposto , ou seja , o ponto mais distante dele . Sendo assim , o ponto mais distante do 0,0 , 0 é o ponto   a   , a   , a   . Podemos achar adiagonal através da relação :

d i a g o n a l = P - P 0 = a - 0 i ^ +   a - 0 j ^ +   a - 0 k ^   = a i ^ +   a j ^ +   a k ^

Passo 2

Da mesma forma que no item anterior , podemos observar que o ponto mais distante do vértice ( a ,   0,0 ) é o ponto ( 0 , a , a ) . Podemos achar a diagonal através da relação :

d i a g o n a l = P - P 0 = 0 - a i ^ +   a - 0 j ^ +   a - 0 k ^   = - a i ^ +   a j ^ +   a k ^

Passo 3

Reparem o ponto mais distante do vértice ( 0 , a , 0 ) é o ponto a , 0 , a . Podemos achar adiagonal através da relação :

d i a g o n a l = P - P 0 = a - 0 i ^ +   0 - a j ^ +   a - 0 k ^   = a i ^ -   a j ^ +   a k ^

Passo 4

O vértice mais distante do ponto ( a , a , 0 ) é o vértice ( 0,0 , a ) . Dessa forma , Podemos achar adiagonal através da relação :

d i a g o n a l = P - P 0 = 0 - a i ^ +   0 - a j ^ +   a - 0 k ^   = - a i ^ -   a j ^ +   a k ^

Passo 5

Então galera , a primeiracoisa quedevemos fazer é considerar o vetor que liga o vértice inferior esquerdo ao vértice superior direito, a i ^ +   a j ^ +   a k ^ . Podemos pensar nesse vetor como a soma do vetor a i → , paralelo ao eixo x , com o vetor a j → +   a k → , perpendicular ao eixo x . A tangente do ângulo entre o vetor e o eixo x   é a componente perpendicular dividida pela componente paralela. Como o módulo da componente perpendicular é a 2 + a 2 = a 2 e o módulo da componente paralela é a   . Assim, θ =   54,7 ° . O ângulo entre o vetor e as outras duas arestas vizinhas (os eixos y   e z ) é o mesmo, o que também acontece com o ângulo entre os outros vetores diagonais e as arestas vizinhas a esses vetor.

Passo 6

O comprimento de qualquer umadas diagonais pode ser obtido através relação :

a 2 + a 2 +   a 2 =   a 3  

Atenção! Cientistas afirmam que o próximo exercício tem 117,3% de chances de cair na sua prova , não deixem de conferir 

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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