Enunciado

Na fig 35-39 duas fontes pontuais isotrópicas, S 1 e   S 2 , estão no eixo y , separadas por uma distância de 2,7 μ m , e emitem em fase com um comprimento de onda de 900 n m . Um detector de luz é colocado no ponto P , situado no eixo x , a uma distância x p da origem. Qual é o maior valor de x p , para o qual a luz detectada é mínima devido a uma interferência destrutiva?

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos lembrar da relação para interferência destrutiva:

L 2 - L 1 = m + 1 2 λ

Vamos chamar de L 1 o percurso da onda que sai da fonte S 1 e de L 2 o percurso da onda que sai da fonte S 2 .

Passo 2

Agora vamos olhar com carinho o desenho para conseguir determinar esses percursos:

O percurso percorrido pela onda 1 até o detector é L 1 = x , mas o caminho percorrido pela segunda onda é aquele L 2 ali. Mas como podemos encontrar esse caminho em termos dos valores que temos? Ah! PITÁGORAS!!

A hipotenusa é nosso caminho L 2 e os catetos são D e x como desenhei ali em cima, daí o caminho L 2 é:

L 2 2 = D 2 + x 2

L 2 = D 2 + x 2

E assim podemos substituir na condição para interferência destrutiva:

D 2 + x 2 - x = m + 1 2 λ

Passo 3

Para termos o maior valor de x , precisamos que o valor de m seja mínimo, então m = 0 :

D 2 + x 2 - x = 0 + 1 2 λ

D 2 + x 2 - x = 1 2 λ

Agora vou fazer algumas manipulações matemáticas para tentar isolar esse x aí:

D 2 + x 2 - x = 1 2 λ

D 2 + x 2 = λ 2 + x

Agora elevando os dois lados ao quadrado:

D 2 + x 2 = λ 2 + x 2

E abrindo o produto notável:

D 2 + x 2 = λ 2 4 + 2 . λ 2 x + x 2

Cortando x 2 dos dois lados

D 2 = λ 2 4 + λ x

E como temos que D = 3 λ ( D = 2,7 × 10 - 6 = 27 × 10 - 7 m e λ = 900 × 10 - 9 = 9 × 0 - 7 m ), então nossa conta fica bem simplificada, saca só:

3 λ 2 = λ 2 4 + λ x

9 - 1 4 λ 2 = λ x

x = 36 - 4 4 λ = 8,75 λ

E temos o valor do comprimento de onda! Agora sim conseguimos encontrar x :

x = 8,75.900 × 10 - 9 = 7,88 × 10 - 6 m

Resposta

7,88 × 10 - 6 m

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