Enunciado

Em uma figura de interferência de dupla fenda, qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas se existem 17 franjas claras na envoltória central de difração e os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência?

Passo 1

(a) Quando temos duas fendas com uma certa largura a e separadas por uma distância d , o nosso padrão de interferência vai ter duas partes: uma “gerada” pela largura, e uma “gerada” pela distância.

A primeira é a envoltória de difração, que é consequência da largura das fendas. Vamos começar calculando a posição dos primeiros mínimos dessa envoltória:

a sen ⁡ θ e n v = m λ

E fazendo m = 1 :

θ e n v = ± arcsen ⁡ λ a

E o ± aparece porque esse ângulo deve ser marcado acima e abaixo do centro da figura.

Passo 2

Ok, a segunda parte é o padrão de interferência, que é consequência da distância entre as fendas.

Nosso objetivo é calcular quantos máximos desse padrão existem entre os dois primeiros mínimos da envoltória, ou seja, quantos mínimos obedecem essa condição:

- θ e n v < θ < + θ e n v

Vamos lembrar da fórmula que dá a posição dos máximos do padrão de interferência:

d sen ⁡ θ = m λ

θ = arcsen ⁡ m λ d

Então nosso objetivo é encontrar quantos valores diferentes de m (um para cada máximo) estão presos nesse intervalo:

- arcsen ⁡ λ a < arcsen ⁡ m λ d < arcsen ⁡ λ a

Passo 3

Como o seno é uma função sempre crescente nos intervalos em que estamos trabalhando aqui, podemos reescrever essa desigualdade tirando os arcsen ⁡ x :

- λ a < m λ d < λ a

Agora vamos dividir tudo por λ :

- 1 a < m d < 1 a

Como queremos determinar a razão entre a e d , vamos multiplicar tudo por d :

- d a < m < d a

O enunciado diz que existem 17 franjas nesse intervalo. Isso quer dizer que d / a = 9,0 , pois nesse caso:

- 9 < m < 9

E os valores permitidos seriam:

m =   - 8 ,   - 7   6 , - 5 ,   - 4 ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8

Ou seja, teríamos 17 máximos.

Portanto, para atender a exigência do enunciado, temos d / a = 9,0 .

Resposta

A razão deve ser 9,0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um padrão de interferência-difração de fenda dupla do tipo Fraunhofer é observado usando luz com comprimento de onda 700 nm. As fendas têm largura de 0,010 mm e estão separadas por 0,20 mm. Quantas fr
Um padrão de interferência-difração de fenda dupla do tipo Fraunhofer é observado usando luz com comprimento de onda 500 nm. As fendas estão separadas por 0,100 mm e têm largura desconhecida.a) Determ
Luz com comprimento de onda igual a 550n m ilumina duas fendas cujas larguras são iguais a 0,030m m e a separação entre elas é 0,15m m . (a) Quantos máximos de interferência estão inseridos na largura
Se, em uma figura de interferência de dupla fenda, existem 8 franjas claras dentro do primeiro pico lateral da envoltória de difração, e mínimos de difração coincidem com máximos de interferência, qua
Quando fazemos d=a na Fig. 36-50, as duas fendas se tornam uma única fenda de largura 2 a . Mostre que, nesse caso, a Eq. 36-19 e a Eq. 36-5 levam ao mesmo resultado