Enunciado

Em um experimento de dupla fenda, se a distância entre as fendas é 14   μ m e a largura das fendas é 2,0   μ m , determine (a) quantos máximos de interferência existem no pico central da envoltória de difração e (b) quantos máximos de interferência existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração.

Passo 1

(a) Quando temos duas fendas com uma certa largura a e separadas por uma distância d , o nosso padrão de interferência vai ter duas partes: uma “gerada” pela largura, e uma “gerada” pela distância.

A primeira é a envoltória de difração, que é consequência da largura das fendas. Vamos começar calculando a posição dos primeiros mínimos dessa envoltória:

a sen ⁡ θ e n v = m λ

E fazendo m = 1 :

θ e n v = ± arcsen ⁡ λ a

E o ± aparece porque esse ângulo deve ser marcado acima e abaixo do centro da figura.

Passo 2

Ok, a segunda parte é o padrão de interferência, que é consequência da distância entre as fendas.

Nosso objetivo é calcular quantos máximos desse padrão existem entre os dois primeiros mínimos da envoltória, ou seja, quantos mínimos obedecem essa condição:

- θ e n v < θ < + θ e n v

Vamos lembrar da fórmula que dá a posição dos máximos do padrão de interferência:

d sen ⁡ θ = m λ

θ = arcsen ⁡ m λ d

Ok, então nosso objetivo é encontrar quantos valores diferentes de m (um para cada máximo) estão presos nesse intervalo:

- arcsen ⁡ λ a < arcsen ⁡ m λ d < arcsen ⁡ λ a

Passo 3

Como o seno é uma função sempre crescente nos intervalos em que estamos trabalhando aqui, podemos reescrever essa desigualdade tirando os arcsen ⁡ x :

- λ a < m λ d < λ a

Agora vamos dividir tudo por λ :

- 1 a < m d < 1 a

E multplicar tudo por a d :

- d < m a < d

Agora é só substituir os valores (vamos deixar tudo em micrometros):

- 14 < m   ( 2 ) < 14

- 7 < m < 7

Então, como m é um número inteiro, os valores permitidos são:

m = - 6 , - 5 ,   - 4 ,   - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 , 6

Ou seja, 1 3 valores permitidos, e portanto 1 3 máximos de interferência entre os dois primeiros mínimos.

Passo 4

(b) Quando estamos em um dos picos laterais da envoltória de difração, estamos indo de m = 1 até m = 2 na envoltória, ou seja, se o nosso intervalo antigo era:

- arcsen ⁡ λ a < arcsen ⁡ m λ d < arcsen ⁡ λ a

Agora vamos ficar com o seguinte:

arcsen ⁡ λ a < arcsen ⁡ m λ d < arcsen ⁡ 2 λ a

Perceba que o sinal negativo sumiu, porque agora pegarmos um pico lateral, em apenas um dos lados do centro da figura.

Seguindo a mesma lógica de antes, e substituindo os valores, vamos ficas com:

14 < m   ( 2 ) < 28

7 < m < 14

E então os valores permitidos são

m = 8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13

Então existem 6 máximos de interferência nesse intervalo.

Resposta

(a) Existem 13 máximos no pico central da envoltória.

(b) Existem 6 máximos em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória.

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