Na Fig. 4-32, a partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com uma velocidade constante v vetor de módulo 3,0 m/s e paralela ao eixo x . No instante em que a partícula A passa pelo eixo y , a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante a→ de módulo 0,40 m/s^2 . Para que valor do ângulo theta entrea→ e o semieixo y positivo acontece uma colisão?

Passo 1

Bom galera , aqui temos dois corpos em movimento e eles colidem no final. Nós temos algumas informações, como a posição e velocidade inicial de ambas as partículas e também temos a aceleração de B.

E queremos saber o ângulo da direção do movimento de B!

A primeira coisa que devemos fazer é identificar os tipos de movimento que estamos trabalhando. Neste caso, a partícula A descreve movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante. No caso, o UM ou MRU. E esse movimento acontece na reta horizontal y = 30 m .

A partícula B faz um movimento uniformemente variado, ou seja, com aceleração constante. Ela parte do repouso, ou seja, tem velocidade zero no início. E a sua aceleração é de 0,40   m / s 2 .

Agora, pra resolver... se queremos que a colisão ocorra, precisamos que as duas estejam na mesma posição ao mesmo tempo, ao final do movimento:

S A = S B

Podemos dizer ainda que as coordenadas da posição final de ambas serão as mesmas:

S A x = S B x

S A y = S B y

Lembrando que essa duas condições devem ocorrer simultâneamente!!!!!

t A = t B = t

Até aqui , tudo tranquilo? Vamos avaliar o movimento de cada uma das partículas separadamente aqui.

Passo 2

O enunciado nos diz que a partícula A percorre a reta y = 30 m . Isso significa que a sua posição y vai ser sempre 30 :

s A y = 30

Já a posição na direção x , vai depender da velocidade v A = 3 m / s e do tempo t :

v A = s A x t

Então:

s A x = v A t

s A x = 3 t

Agora vamos calcular as coordenadas da posição final de B e igualar.

Passo 3

Como vimos no passo 1, o movimento da partícula B é um movimento uniformemente variado. Então vamos usar a equação horária da posição do MRUV (ou sorvetão) pra achar a distância total percorrida:

s B = s 0 B +   v 0 B t + a B t 2 2

E como B parte da origem com velocidade zero, os dois primeiros termos somem:

s B = a B t 2 2

s B = 0,4 t 2 2 = 0,2   t 2

Mas essa distância percorrida é na direção do movimento de B, então o que vamos fazer aqui é decompor s B nas direções x e y pra igualar às coordenadas da partícula A. Vamos relembrar onde fica o ângulo θ .

s B x = s B sen ⁡ θ

s B y = s B cos ⁡ θ

Portanto:

s B x = 0,2   t 2 sen ⁡ θ

s B y = 0,2   t 2 cos ⁡ θ

Agora vamos igualar às coordenadas da partícula A.

Passo 4

Bem, se as partículas colidem, então elas chegam a exata mesma posição. Como vimos no passo 1:

s A x = s B x

s A y = s B y

Igualando:

3 t = 0,2   t 2 sen ⁡ θ

30 = 0,2   t 2 cos ⁡ θ

Reorganizando as duas equações:

sen ⁡ θ = 15 t

cos ⁡ θ = 150 t 2

Da relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

15 t 2 + 150 t 2 2 = 1

15 2 t 2 + 150 2 t 4 = 1

15 2 t 2 + 150 2 = t 4

Resolvendo por Bashkara, vamos achar que:

t = 10 3

ACHAMOS O TEMPO TOTAL!

Agora pra achar o ângulo vamos substituir em:

cos ⁡ θ = 150 t 2

cos ⁡ θ = 150 10 3 2 = 150 300 = 1 2

E finalmente, o ângulo que tem cosseno igual a 1 / 2 é:

θ = cos - 1 ⁡ 1 2 = 60 °  

Resposta

θ = 60 °

Essa questão exigiu um pouco mais de raciocínio , mas continue com a gente para dominar exercícios desse tipo

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