Enunciado

Na Fig. 22-52, uma barra não condutora "semi-infinita" (ou seja, infinita apenas em um sentido) possui uma densidade linear de cargas uniforme λ . Mostre que o campo elétrico E → p   no ponto P faz um ângulo de 45 ° com a barra e que o resultado não depende da distância R . (Sugestão: calcule separadamente as componentes de E → p na direç��o paralela à barra e na direção perpendicular à barra.)

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😎

Nesse problema temos uma barra não condutora "semi-infinita" (ou seja, infinita apenas em um sentido) que possui uma densidade linear de cargas uniforme λ .

Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico E → p   no ponto P faz um ângulo de 45 ° com a barra e que o resultado não depende da distância R

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Vamos considerar um elemento bem pequeno da barra, chamaremos de d q   e ele está a uma distância x da extremidade esquerda da barra, como está na figura abaixo:

Veja só! 👀

Passo 2

Esse campo elétrico d E → gerado por esse pedacinho infinitesimal de carga é dada por

d E → = k d q r 2 r ^

E para encontrar o campo elétrico total, precisamos integrar todos os campos elétricos gerados por todos os pedacinhos de carga...

E → = ∫ B a r r a k d q r 2 r ^

Mas não vamos conseguir integrar em função de d q , para tirar ele dali, faremos o seguinte...

Como a densidade de carga é linear, ou seja:

λ = Q L

Onde Q é a carga total e L o tamanho da barra.

Como temos que essa barra está uniformemente distribuída, podemos dizer que essa relação é válida para qualquer pedaço de carga por qualquer pedaço de comprimento, sendo assim, vamos pegar um pedaço infinitesimal de carga para podermos integrar.

λ = Q L = d q d l

Esse pedaço infinitesimal de comprimento está no eixo x e por isso pode ser dado como:

d l = d x

Substituindo, teremos:

d q = λ d x

Agora voltamos para a nossa expressão   :

d E → = 1 4 π ϵ 0 λ d x r 2 r ^ .

Só que temos um problema para integrar esse cara aqui. Esses vários vetores d E → possuem direções diferentes, pois para cada pedacinho de carga, o vetor aponta numa direção diferente. Quando isso acontece, precisamos decompor o vetor, e então iremos calcular a soma das componentes horizontais e a das componentes verticais.

E assim, encontraremos o vetor campo elétrico.

E x = ∫ d E x

E y = ∫ d E y

E → = E x i ^ + E y j ^

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Lembre-se que o vetor campo elétrico se afasta da barra, pois ela tem carga positiva e, portanto, tem campo divergente (cargas positivas tem linhas de campo elétrico que saem da barra):

Agora, precisamos achar as componentes x e y do vetor campo elétrico. Para isso, basta a gente decompor nos eixos x e y. Vamos dar uma olhada na decomposição desse vetor?

Podemos dizer que as componentes do vetor campo elétrico são:

d E x = d E   .   s e n θ  

E d E y = d E   .   c o s θ  

Substituindo o valor que calculamos de d E :

d E x =   -   1 4 π ϵ 0 λ d x r 2 s e n θ

Ai você me pergunta o motivo de estar negativo. Bem simples, percebe que nossa referência de eixo no desenho é y positivo quando direcionado para cima e x positivo quando direcionado para direita, como no nosso caso o vetor d E x está direcionado para a esquerda, ele assume um valor negativo!

A outra componente do vetor campo elétrico é:

d E y =   -   1 4 π ϵ 0 λ d x r 2 c o s θ

E também é negativa pelo mesmo motivo ;)

Passo 4

Para achar o campo elétrico da barra toda, e não de apenas um elemento dela, devemos integrar em toda a barra. Usaremos θ como a variável de integração, ok? Olhe para a figura do passo 1:

Vemos que

c o s θ = R / r

Logo:

R = r c o s θ

e

t a n θ = x / R

Isto é:

x = R t a n θ

Diferenciando essa última expressão, obtemos:

d x = R cos 2 ⁡ θ d θ

Como a barra é semi-infinita, os limites de integração são θ = 0 e θ = π / 2 , integrando:

E x = ∫ 0 π 2 d E x  

Substituindo o valor que encontramos para d E x :

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ d x r 2 s e n θ  

Substituindo a expressão de d x :

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ ( R cos 2 ⁡ θ d θ ) r 2 s e n θ  

Substituindo R = r c o s θ :

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ ( r c o s θ cos 2 ⁡ θ d θ ) r 2 s e n θ  

Dividindo c o s θ por cos 2 ⁡ θ :

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ ( r cos ⁡ θ d θ ) r 2 s e n θ  

Arrumando essa fração:

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ ( r cos ⁡ θ d θ ) 1 r 2 s e n θ  

Vamos dividir r por r 2 :

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ ( 1 cos ⁡ θ d θ ) 1 r s e n θ  

Como   R = r c o s θ :

E x = ∫ 0 π 2 -   1 4 π ϵ 0 λ d θ 1 R s e n θ  

Estamos quase lá! 😁

Passo 5

Vamos colocar tudo que não depende de θ para fora da integral:

E x = -   λ 4 π ϵ 0 R ∫ 0 π 2 s e n θ d θ  

E x = λ 4 π ϵ 0 R c o s θ ​ 0 π 2

E x = λ 4 π ϵ 0 R cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0

E x = λ 4 π ϵ 0 R 0 - 1

E x =     - λ 4 π ϵ 0 R

Ufa, encontramos nossa componente em x do vetor campo elétrico. Vamos agora para a componente em y !

Mas não precisa fazer tudo de novo, é só se ligar!

Fazendo o mesmo para a componente y teremos a mesma expressão, apenas trocando o s e n θ por c o s θ antes de integrar:

E y = -   λ 4 π ϵ 0 R ∫ 0 π 2 c o s θ d θ

E y =   - λ 4 π ϵ 0 R s e n θ ​ 0 π 2

E y =   - λ 4 π ϵ 0 R s e n π 2 - s e n 0

E y =   - λ 4 π ϵ 0 R 1 - 0

Logo

E y =     - λ 4 π ϵ 0 R

Vamos continuar! 😐

Passo 6

Olhe que, como E x = E y :

E y =     - λ 4 π ϵ 0 R = E x =     - λ 4 π ϵ 0 R

Para qualquer valor de R , o ângulo que o campo elétrico E → p faz com a barra é de 45°, pois esse é o único ângulo que tem a propriedade de ter as componentes x e y iguais.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

E y =     - λ 4 π ϵ 0 R = E x =     - λ 4 π ϵ 0 R

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