Enunciado

Um fio de comprimento l está uniformemente carregado com densidade linear de carga λ .

  1. Calcule o campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância d da sua extremidade.
  2. Calcule a magnitude do campo se l = d = 5 c m e a carga total do fio é de 3 μ C .

Passo 1

Se liga! Primeiro vamos esboçar as informações que o enunciado nos da em um desenho, beleza?

Lembre-se que podemos escrever

λ = d q d l   ⟹ d q = λ   d l e que pela figura podemos escrever que

d l = d x     .

Passo 2

Agora podemos escrever o campo elétrico produzido por um elemento infinitesimal de carga

d E = k d q d 2 = k λ   d x x 2

Pela imagem podemos verificar que a distância do ponto P até uma extremidade do fio é d e a até a outra extremidade é d + l , beleza?Lembra que para saber a força produzido por todo o fio precisaremos integrar o campo produzido pelo elemento de carga infinitesimal.Sendo assim, temos

E =   ∫ d d + l k λ   d x x 2   =   k λ ∫ d d + l   d x x 2  

Agora precisamos resolver a integral do polinômio!

∫ d d + l   d x x 2   =   - 1 d - - 1 d + l = l + d - d d d + l = l d ( d + l )

Substiruindo o resultando da integral teremos

E = k λ d l l + d  

Sabemos que a direção vai apontar no eixo x , mas o sentido dependerá se a carga é positiva ou negativa. Então escreveremos

E → = ±   k λ d l l + d   x ^       .

Passo 3

Para o item (b), basta substituirmos os valores, dados no enunciado, na expressão que encontramos do campo! Assim, encontramos

E = 5,334 × 10 6   N / C

Resposta

a )       E → = ±   k λ d l l + d   x ^

b )       E = 5,334 × 10 6   N / C

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