Enunciado

Na Fig. 26-29, uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω ⋅ m , raio menor a = 2,00   m m , raio maior b = 2,30   m m e comprimento L = 1,94   c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

(a) A Fig. 26-29 mostra a corrente i entrando no tronco de cone pela base menor e saindo pela base maior; vamos escolher este sentido como sentido positivo do eixo x . Como a densidade de corrente J é uniforme, J ( x ) = i / A , na qual A = π r 2 é a área da seção reta do cone. Como, de acordo com a Eq. 26-11, E = ρ J , temos:

E ( x ) = i ρ π r 2

Integrando E ( x ) , podemos determinar a diferença de potencial V entre as bases do tronco de cone e calcular a resistência usando a relação R = V / i (Eq. 26-8). Para isso, porém, é preciso conhecer como r varia c o m ⁡ x .

Como o raio do tronco de cone varia linearmente com x , sabemos que r = c 1 + c 2 x , na qual c 1 e c 2 são constantes. Tomando como origem o centro da base menor do tronco de cone, r = a para x = 0 e, portanto, c 1 = a . Como r = b para x = L , b = a + c 2 L , o que nos dá c 2 = ( b - a ) L . Assim, temos:

r = a + b - a L x

S u b s t i t u i n d o   r   p o r   e s s e   v a l o r   n a   e x p r e s s ã o   d e   E ( x ) ,   o b t e m o s :

E ( x ) = i ρ π a + b - a L x - 2

A diferença de potencial entre as bases do tronco de cone é

V = - ∫ 0 L   E d x = - i ρ π ∫ 0 L   a + b - a L x - 2 d x = i ρ π L b - a a + b - a L x - 1 | 0 L

= i ρ π L b - a 1 a - 1 b = i ρ π L b - a b - a a b = i ρ L π a b

e   a   r e s i s t ê n c i a   é

R = V i = ρ L π a b = ( 731 Ω ⋅ m ) 1,94 × 10 - 2 m π 2,00 × 10 - 3 m 2,30 × 10 - 3 m = 9,81 × 10 5 Ω = 981 k Ω

N o t e   q u e ,   s e   b = a , R = ρ L / π a 2 = ρ L / A ,   n a   q u a l   A = π a 2   é   a   á r e a   d a   s e ç ã o   r e t a   d o   c i l i n d r o .

Opa, gostou da resolução? Responde Aí!

Resposta

A = π a 2   é   a   á r e a   d a   s e ç ã o   r e t a   d o   c i l i n d r o .

Exercícios de Livros Relacionados

Para a ponte de Wheatstone no Problema 109, suponha que a ponte equilibra na marca de 98,0 - c m . (a) Qual é a resistência desconhecida? (b) Qual é a percentagem de erro no valor medido de Rx se houv
Não é uma boa ideia prender as extremidades de um clipe metálico de papel nas fendas retangulares de uma tomada elétrica doméstica. Explique por que fazendo uma estimativa do valor da corrente que o c
(a) Estime o valor da resistência de um cabo de bateria para automóveis. (b) Procure o valor da corrente necessária para ligar um carro típico. Nesta corrente, qual é a queda de potencial que ocorre n
Seu gerente deseja que você projete um novo aquecedor para água superisolado para o mercado residencial. Uma bobina de fio Nichrome deve ser usada como elemento aquecedor. Estime o valor necessário pa
Um fio de 4,00 m de comprimento e 6,00 m m de diâmetro tem uma resistência de 15,0 m Ω . Uma diferença de potencial de 23,0 V é aplicada às extremidades do fio. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual