Enunciado

A Fig. 28-45 mostra um cilindro de madeira de massa m = 0,250   k g e comprimento L = 0,100   m , com N = 10,0 espiras de fio enroladas longitudinalmente para formar uma bobina; o plano da bobina passa pelo eixo do cilindro. O cilindro é liberado a partir do repouso em um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal, com o plano da bobina paralelo ao plano inclinado. Se o conjunto é submetido a um campo magnético uniforme de módulo 0,500   T , qual é a menor corrente i na bobina que impede que o cilindro entre em movimento?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

As forças que agem sobre o cilindro são a força da gravidade m g , que é vertical e passa pelo centro de massa do cilindro, a força normal do plano inclinado F N , que é perpendicular ao plano inclinado e passa pelo centro de massa do cilindro, e a força de atrito f , que é paralela ao plano inclinado e passa pela superfície do cilindro. Vamos tomar o eixo x paralelo ao plano

inclinado e considerar o sentido para baixo como positivo. Nesse caso, aplicando a segunda lei de Newton às componentes das forças envolvidas em relação ao eixo x , temos:

m g s e n ⁡ θ - f = m a ,

n a   q u a l   a   é   a   a c e l e r a ç ã o   d o   c i l i n d r o .

O passo seguinte consiste em calcular o torque em relação ao eixo do cilindro. De acordo com a Eq. 28-37, o campo magnético produz um torque de módulo μ B sen θ , na qual μ é o momento dipolar do cilindro, e a força de atrito produz um torque de módulo f r , na qual r é o raio do cilindro. De acordo com a segunda lei de Newton para rotaçoes, temos:

f r - μ B s e n ⁡ θ = I α

n a   q u a l   I   é   o   m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d o   c i l i n d r o   e   α   é   a   a c e l e r a ç ã o   a n g u l a r   d o   c i l i n d r o .

Como estamos interessados em calcular a menor corrente para a qual o cilindro não entra em movimento, fazemos a = 0 na primeira equação e α = 0 na segunda, o que nos dá m g r = μ B . Como a bobina é retangular, com dois lados de comprimento L e dois lados de comprimento 2 r , na qual r é o raio do cilindro, a área da bobina é A = 2 r L e o momento dipolar é μ = N i A = N i ( 2 r L ) . Assim, m g r = 2 N i r L B e

i = m g 2 N L B = ( 0,250 k g ) 9,8 m / s 2 2 ( 10,0 ) ( 0,100 m ) ( 0,500 T ) = 2,45 A

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Resposta

2,45 A

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