Enunciado

A Fig. 31 -59 mostra uma seção transversal de uma chapa condutora infinita com uma corrente por unidade de comprimento A emergindo perpendicularmente do plano da página. (a) Use a lei de Biot-Savart e a simetria para mostrar que para todos os pontos P acima da chapa, e todos os pontos P' abaixo dela, o campo magnético B é paralelo à chapa e tem o sentido indicado. (b) Use a lei de Ampere para provar que B =uA/2 em todos os pontos P e P’.

Passo 1

Fala galera, bora lá! A “corrente por unidade de comprimento A” pode ser vista como a densidade de corrente multiplicada pela espessura ∆ y da chapa; assim, λ = J ∆ y . A lei de Ampere pode ser (e geralmente é) expressa em termos do vetor de densidade de corrente da seguinte maneira:

∮ B   d s = μ 0 ∫ J   d A

onde a integral de área está sobre a região delimitada pelo caminho relevante para a integral de linha (e J está na direção + z , fora do papel). Com J   uniforme em toda a folha, fica claro que o lado direito desta versão da lei de Ampere deve reduzir, neste problema, a

µ 0 J A = µ 0 J ∆ y ∆ x = µ 0 λ ∆ x

Passo 2

(a) A Figura certamente tem os componentes horizontais de B desenhados corretamente nos pontos P e P ' (como a referência à Figura confirmará [considere os elementos atuais mais próximos de cada um desses pontos]), então a questão se torna: é possível que B tenha componentes verticais na figura? Nosso foco está no ponto P . A Fig. sugere que o elemento de corrente logo à direita do mais próximo (aquele diretamente sob o ponto P ) contribuirá com um componente descendente, mas, pelo mesmo raciocínio, o elemento atual logo à esquerda do mais próximo deve contribuir com um componente ascendente para o campo em P . Os elementos atuais são todos equivalentes, conforme refletido na simetria translacional horizontal embutida neste problema; portanto, todos os componentes verticais devem cancelar em pares. O campo em P deve ser puramente horizontal, conforme desenhado.

Passo 3

(b) A trajetória usada na avaliação de ∮ B   d s é retangular, de comprimento horizontal ∆ x (os lados horizontais passando pelos pontos P e P' respectivamente) e tamanho vertical δ y   >   ∆ y . Os lados verticais não contribuem para a integral, pois B é puramente horizontal (portanto, o produto escalar produz zero para esses lados) e os lados horizontais contribuem com dois termos iguais, conforme mostrado a seguir. A lei de Ampère produz

2 B Δ x = μ 0 λ Δ x

B = 1 2 μ 0 λ

Resposta

Respondido nos passos 2 e 3.

Exercícios de Livros Relacionados

Em uma certa região existe uma densidade de corrente uniforme de 15 A/m^2 no sentido positivo do eixo z. Considere a curva fechada formada pelos três segmentos de rela que ligam os pontos dc coordenad
Duas espiras quadradas, condutoras, transportam correntes de 5.0 A e 3.0 A como é mostrado na Fig. 31-53. Qual é o valor de B ds para cada uma das curvas fechadas mostradas?
A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico comprido e maciço, de raio a está na direção do eixo central e varia linearmente com a distância radial r de acordo com J = Jar/a. Determine o
Mostre que um campo magnético uniforme B não pode cair abruptamente a zero quando o percorremos perpendicularmente, como é sugerido pela seta horizontal que passa pelo ponto d na Fig. 31-54. (Sugestão
Um tubo comprido e circular, com um raio externo R transporta uma corrente (uniformemente distribuída), para dentro da página, como é mostrado na Fig. 31-57. Um fio está disposto paralelamente ao tubo