Enunciado

A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico comprido e maciço, de raio a está na direção do eixo central e varia linearmente com a distância radial r de acordo com J = Jar/a. Determine o campo magnético no interior do fio.

Passo 1

Fala galera, bora lá! Aplique a lei de Ampere com um loop Amperiano que é um círculo centrado no centro do fio. Então

∮ B →   d s = B ∮ d s = 2 π r B

porque B → é tangente ao caminho e B é uniforme ao longo do caminho por simetria. A corrente fechada é

i e n c = ∫ j   d A

Passo 2

Esta integral é melhor executada em coordenadas polares, então

d A   =   d r r   d θ

e então

i e n c = ∫ 0 r ∫ 0 2 r j 0 r a r d r   d θ

i e n c = 2 π j 0 a ∫ 0 r r 2 d r

i e n c = 2 π j 0 a r 3

Quando r = a , a corrente fechada é i , então

i = 2 π j 0 3 a 2       o u       j 0 = 3 i 2 π a 2

Passo 3

A força do campo magnético dentro do fio é encontrada colando-se as duas partes da lei de Ampere,

2 π r B = μ 0   2 π j 0 3 a r 3

B = μ 0 j 0 r 2 3 a

Logo, substituindo j 0

B = μ 0 i r 2 2 π a 3

Resposta

B = μ 0 i r 2 2 π a 3

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