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A figura ( a ) é um gráfico parcial da função posição x ( t ) de um oscilador harmônico simples com uma frequência angular de 1,20   r a d / s ; a figura ( b ) é um gráfico parcial da função velocidade v ( t ) correspondente. As escalas dos eixos verticais são definidas por x s = 5,0   c m e v s = 5,0   c m / s . Qual é a constante de fase do MHS se a função posição x ( t ) é dada na forma x = x m c o s ⁡ ( ω t + φ ) ?

Passo 1

Então, o gráfico da esquerda representa um pequeno trecho dessa função aqui:

x t = x m . cos ⁡ ( ω t + φ )

E o gráfico da direita, que representa a velocidade do oscilador, é simplesmente a derivada dessa função (porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo):

x ' t = v t = - x m ω . sen ⁡ ( ω t + φ )

Olhando os pontos em que as funções cruzam o eixo y , dá pra identificar as seguintes igualdades:

x 0 = 2,0   c m

v 0 = -   4,0   c m / s

Também foi dito que ω = 1,20   r a d / s . Vamos juntar tudo isso em um sistema:

x 0 = 2,0 = x m . c o s ⁡ ( 1,2 ( 0 ) + φ )

v 0 = - 4,0 = - ( 1,2 ) x m . sen ⁡ ( 1,2 ( 0 ) + φ )

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar a constante de fase φ . Uma boa opção (muito usada pra resolver sistemas envolvendo funções trigonométricas) é dividir a segunda equação pela primeira:

- 1,2 x m . sen ⁡ φ x m . c o s ⁡ ( φ ) = - 4,0 2,0

- 1,2 .   sen ⁡ φ c o s ⁡ ( φ ) = - 2,0

tan ⁡ φ = - 2,0 - 1,2 = 5 3

Passo 3

E agora a solução do problema está nessa equação aqui:

φ = tan - 1 ⁡ 5 3

Jogando isso em uma calculadora científica (que esteja em modo radianos), achamos:

φ = 1,03   r a d

Somando π a esse valor pra achar outro ângulo com a mesma tangente:

φ = 4,17   r a d

E existem outras infinitas soluções, essas só são as únicas entre 0 e 2 π . Nesse caso é melhor deixar a resposta em termos da tangente inversa mesmo.

Resposta

φ = tan - 1 ⁡ 5 3

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