Enunciado

A figura 22.19 mostra um anel circular de raio R transportando uma corrente I , na presença de um campo magnético não uniforme. Em cada ponto do anel o campo tem a mesma intensidade B e faz um ângulo θ com a normal ao plano daquele. Calcule a força que o campo faz sobre o anel.

Passo 1

Eai pessoal, beleza?

Antes de qualquer coisa, vamos definir um sistema de coordenadas. Para esse problema, é bem interessante usarmos coordenadas cilíndricas já que o anel tem esse tipo de simetria:

Na figura eu desenhei o vetor campo magnético sobre um elemento infinitesimal d l do anel. Em coordenadas cilíndricas r ,   ϕ ,   z com os versores e ^ r , e → ϕ e e ^ z , o campo magnético sobre o elemento d l pode ser escrito como

B → = B cos ⁡ θ   e ^ z + B   s e n   θ   e ^ r

Uma das componentes do campo está na direção z enquanto a outra está na direção radial. Vale ressaltar que todos os elementos d l do anel estão sobre ação do mesmo campo B → .

Podemos representar o elemento infinitesimal de fio vetorialmente por

d l → = d l   e ^ ϕ

É fácil perceber que esse elemento é tangencial ao fio.

Passo 2

A força infinitesimal que aparece no elemento d l → é dada por

d F → = I   d l → × B →

Logo,

d F → = I B   d l   e ^ ϕ × cos ⁡ θ e ^ z + s e n   θ   e ^ r

Como e ^ ϕ × e ^ z = e ^ r e e ^ ϕ × e ^ r = - e ^ z , temos que

d F → = I B   d l   cos ⁡ θ   e ^ r - s e n   θ   e ^ z

Estamos quase terminando o problema, falta apenas integrar sobre todo o fio. Mas antes disso, observe que as componentes radiais da força em cada elemento d l vão se cancelar quando consideramos o fio todo, enquanto as componentes na direção e ^ z se somam. Com isso, a força resultante será na direção e ^ z :

F → = - I B   s e n   θ   e ^ z   ∫ d l

A integral em d l será simplesmente o comprimento da circunferência 2 π R , de modo que

F → = - 2 π B I R   s e n   θ   e ^ z

Se quisermos apenas o módulo da força, temos

F = 2 π B I R   s e n   θ

Resposta

F = 2 π B I R   s e n   θ

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