Enunciado

A figura 25-77 mostra a base do circuito de varrimento utilizado num osciloscópio. O interruptor S é um interruptor electrónico que fecha sempre que o potencial através do interruptor S aumenta para um valor Vc e abre quando o potencial através do interruptor S diminui para 0,200   V . O fem ε , que é muito maior que V c , carrega o condensador C através de uma resistência R 1 . A resistência R 2 representa a resistência pequena mas finita do comutador electrónico. Num circuito típico ,   ε = 800   V , V c = 4,20   V , R 2 = 1 , 00   m Ω , R 1 = 0,500   M Ω ,   e C = 20,0   n F . (a) Qual é a constante de tempo para o carregamento do condensador C? (b) Mostrar que à medida que o potencial através do interruptor S aumenta de 0,200   V para 4,20   V , o potencial através do condensador aumenta quase linearmente com o tempo. Dica: Usar a aproximação e x   ≈   1   +   x , para | x |   < <   1 . (Esta aproximação de ex pode ser derivada usando a aproximação diferencial). (c) Qual deve ser alterado o valor de R 1 para que o condensador carregue de 0,200   V   a 4,20   V em 0,100   s ? (d) Quanto tempo decorre durante a descarga do condensador quando o interruptor S fecha? (e) A que velocidade média é dissipada a energia na resistência R 1 durante a carga e na resistência do interruptor R 2 durante a descarga?

Passo 1

Eae galera! Belezinha? Vamos lá! Podemos utilizar a sua definição para encontrar a constante temporal do circuito de carga na Parte (a). Na Parte (b) podemos usar a expressão para a diferença potencial em função do tempo através de um condensador de carga e utilizar a dica dada na declaração do problema para mostrar que a tensão através do condensador aumenta quase linearmente ao longo do tempo necessário para levar o potencial através do comutador ao seu valor crítico. a) Quando o condensador está a carregar, o interruptor está aberto e a resistência no circuito de carga é R1. Por conseguinte, o circuito de carga é R1:

Passo 2

b) Expressaremos a tensão através do condensador de carga em função do tempo:

Utilizando a série de potências para a expansão de e x :

Substituindo para e t / τ para obter:

Passo 3

Utilizando o resultado obtido em (b), relacionar o tempo Δ t necessário para alterar a tensão através do condensador por um montante Δ   V a Δ V ( t ) :

Ou,

Substituindo numericamente:

Passo 4

No item d), Expressaremos a diferença potencial através do condensador como uma função do tempo:

Resolvendo para t para obter:

Substituindo valores numéricos e achando t ,

Passo 5

No item e), expressaremos o ritmo a que a energia é dissipada em R1 em função da sua resistência e da corrente através dela:

Como a corrente varia com o tempo, precisamos de nos integrar ao longo do tempo para encontrar Δ E 1 :

Substituindo valores numéricos para achar P 1 ,

Para o ritmo a que a energia é dissipada na resistência do interruptor:

Substituir valores numéricos e avaliar P 2 :

Resposta

a )   τ = 10   m s

b ) V t = ε τ t

c ) R 1 = 1   G Ω

d ) t = 60.9   p s

e ) P 1 = 6.17   n W ,     P 2 = 2.89   k W

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