Enunciado

No circuito da Fig. 29-47. tf = L2 kV. C=6.5 7F, tf , = /?, = tf, = 0.p3 Míi. Com Completamente sem carga. a chave S é subitamente fechada (no instante t - 0). (a ) Determine a corrente que percorre cada resistor para t-0 e t ~ ( b ) Trace um gráfico que descreva, qualitativamente. a diferença de potencial U através de /?, desde t =0 até t = *. (c) Quais são os valores numéricos de V, para t = 0 e / = *•? (d) Dê o significado físico de ‘7 = neste caso.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Em t = 0 o capacitor está completamente descarregado e a corrente no ramo do capacitor e a que teríamos se o capacitor fosse substituido for um fio condutor. Seja i 1 a corrente em R 1 ; tome-a positiva quando aponta para a direita. Seja i 2 a corrente em R 2 , positiva quando apontar para baixo. Seja i 3 a corrente em R 3 , positiva quando apontar para baixo. Usando a lei dos nós e a lei das malhas obtemos

Lei dos nós: i 1 = i 2 + i 3

Malha esquerda: E - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

Malha direita: i 2 R 2 - i 3 R 3 = 0

Como todas as resistências são iguais, podemos desprezar os subindices, escrevendo apenas R, onde R = R 1 = R 2 = R 3 .

Passo 2

A última das três equações acima nos diz que i 3 = i 2 resultado que, substituído na primeira das equações acima, nos da i 2 = i 1 / 2 . Com isto tudo, não é difícil agora usar-se a equação do meio para obter-se que

i 1 = 2 E 3 R

i 1 = 2 ( 1,2 × 10 3 ) 3 ( 0,73 × 10 6 ) = 1,10 × 10 - 3   A

e, consequentemente, que

i 2 = i 3 = E 3 R

i 2 = i 3 = ( 1,2 × 10 3 ) 3 ( 0,73 × 10 6 ) = 5,5 × 10 - 4   A

Passo 3

Em t = ∞ , o capacitor estará completamente carregado sendo, portanto zero a corrente no ramo que contém o capacitor. Então i 1 = i 2 e a lei das malhas fornece

E - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

o que nos fornece a solução

i 1 = i 2 = E 2 R

i 1 = i 2 = 1,2 × 10 3 2 0,73 × 10 6

i 1 = i 2 = 8,2 × 10 - 4   A

Passo 4

(b) Considere a placa superior do capacitor como sendo positiva. Isto é consistente com a corrente que flui em direção a esta placa. As leis dos nós e das malhas são

i 1 = i 2 + i 3

E - i 1 R - i 2 R = 0

- q C - i 3 R + i 2 R = 0

Use a primeira equação para substituir i 1 na segunda e obter

E - 2 i 2 R - i 3 R = 0

Portanto

i 2 = E - i 3 R 2 R

Substitua esta expressão na terceira equação acima obtendo então

- q C - i 3 R + E 2 - i 3 R 2 = 0

Substitua agora i 3 por d q / d t obtendo

i 3 = d q d t

3 R 2 d q d t + q C = E 2

Passo 5

Como não é difícil de reconhecer, está é a equação de um circuito RC em série, exceto que a constante de tempo será τ = 3 R C / 2 e a diferença de potencial aplicada é E / 2 . A solução é, portanto,

q t = C E 2 [ 1 - e - 2 t / 3 R C ]  

A corrente no ramo que contem o capacitor é

i 3 t = d q d t = E 3 R e - 2 t / 3 R C

A corrente no ramo do centro é

i 2 t = E 2 R - i 3 2 = E 6 R 3 - e - 2 t / 3 R C

Enquanto que a diferença de potencial ao atravessar-se R 2 é

V 2 t = i 2 R = E 6 3 - e - 2 t / 3 R C

Passo 6

(c) Para t = 0 , o fator exponencial e - 2 t / 3 R C é igual à 1 e

V 2 = E 3 = 1,2 × 10 3 3

V 2 = 400   V

Para t = ∞ , o fator exponencial e - 2 t / 3 R C é zero e

V 2 = 1,2 × 10 3 2 = 600   V

Passo 7

(d) O significado físico de “tempo infinito” é um certo intervalo de tempo suficientemente grande para que se possa considerar como sendo zero o valor da corrente que circula no ramo contendo o capacitor. Tal intervalo de tempo deverá ser muitas vezes maior que a constante de tempo característica do circuito em questão.

Resposta

Respondido nos passos acima.

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