Enunciado

Na figura 29-43, o ponto P está a uma distância R = 2,00   c m de um fio retilíneo muito longo que conduz uma corrente. O campo magnético B → ao ponto P é a soma das contribuições de elementos de corrente i   d s → ao longo de todo o fio. Determine a distância s entre o ponto P e o elemento (a) que mais contribui para o campo B → e (b) responsável por 10 % da maior contribuição.

Passo 1

E aí, galera! 😁

Nesse problema temos um fio longo e nosso objetivo é determinar uma distancia s de um ponto a uma distância R em que mais contribui para o campo B e outra distância que cointribui com 10 % da maior contribuição.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Tomando o eixo x como horizontal e o eixo y como vertical na figura 29-37, o vetor r → que liga um segmento d s → do fio ao ponto P é dado por:

r → = - s i ^ + R j ^

Como a direção do comprimento do fio retilíneo é o eixo x :

d s → = d s i ^

d s → × r → = d s   .   r   . s e n Ө

Onde:

s e n Ө = R r

Assim:

d s → × r → = d s   .   r   . R r

d s → × r → = ( R d s ) z ^

Bora começar! 😉

Passo 2

A lei de Biot- Savart nos dá:

d B → =   μ o 4 π I d s → × r ��� r 2

Assim, como r = s 2 + R 2 e d s → × r → = R d s , temos

d B → = μ o 4 π i R d s s 2 + R 2 z ^

Como a variável s aparece apenas no denominador, o elemento que mais contribui para o campo B → é o elemento situado em s = 0 . Pois nesse caso diminuímos o valor do denominador, então o valor resultante é maior.

O valor de d B m a x obtido fazendo s = 0 na equação anterior, é:

d B → = μ o 4 π i R d s 0 2 + R 2 z ^

d B → = μ o 4 π i R d s R 2 z ^

d B m a x = μ o i d s 4 π R z ^

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Assim a condição de que campo produzido seja responsável por 10   % da maior contribuição pode ser expressa através da equação:

d B 10 % = μ o 4 π * i R d s s 2 + R 2 = d B m a x 10 = 1 10 μ o i d s 4 π R z ^

d B 10 % = μ o 4 π * i R d s s 2 + R 2 = 1 10 μ o i d s 4 π R

Cortando alguns termos dos dois lados, temos:

R s 2 + R 2 = 1 10 1 R

Multiplicando cruzado:

10 R 2 = s 2 + R 2  

s 2 =   9 R 2

s =   9 R 2

Explicitando s na equação anterior, obtemos:

s = 3 R

s = 3.2 c m = 6   c m

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

  1. Como a variável s aparece apenas no denominador, o elemento que mais contribui para o campo B → é o elemento situado em s = 0 ;
  2. s = 6   c m .
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