Enunciado

Na figura 29-56, quatro fios retilíneos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de aldo a = 8 , 5   c m . Todos os fios conduzem correntes de 15 , 0   A para fora do papel. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 1?

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos quatro fios retilíneos perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de aldo a = 8,5   c m . Todos os fios conduzem correntes de 15,0   A para fora do papel. E nosso objetivo, em termos dos vetores unitários, é determinar qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 1.

A força entre duas correntes paralelas na presença do campo magnético externo B → é dada por:

F b a → = i b L → × B a →

em que L → é o vetor comprimento do fio. Podemos ver na figura acima, os vetores L → e B a → são mutuamente perpendiculares e, portanto, de acordo com a equação para fios retilíneos longos, podemos escrever:

F b a = i b L B a s e n 90 ° = μ o L i a i b 2 π d

Onde μ 0 é a permissividade magnética do vácuo, L é o comprimento do fio, i a e i b as correntes e d a distância entre os fios.

As forças no fio 1 podem ser decompostas da seguinte forma:

F 1 → = F 1 2 → + F 13 → + F 1 4 →

Veja só! 😁

Passo 2

Como estamos lidando com uma disposição dos fios no formato de um quadrado, uma maneira de calcularmos a força magnética no fio 1 pode ser através da decomposição dos vetores de força em componentes x e y . A figura a seguir mostra essa situação.

Bacana, não é? 👀

Passo 3

Como θ = 45 ° porque estamos falando de um quadrado, podemos escrever as seguintes relações:

F 1 x = - F 12 - F 13 c o s θ = - μ o i 2 2 π a - μ o i 2 cos ⁡ 45 ° 2 2 π a   = - 3 μ o i 2 4 π a

F 1 y = F 1 4 + F 13 s e n θ = μ 0 i 2 2 π a + μ o i 2 s e n 45 ° 2 2 π a = 3 μ o i 2 4 π a

Tendo isso em mãos, podemos calcular o valor de F 4 ! Sabemos do teorema de pitágoras que:

F 1 2 = F 1 x 2 + F 1 y 2 F 1 = F 1 x 2 + F 1 y 2 1 2 = - 3 μ o i 2 4 π a 2 + 3 μ o i 2 4 π a 2 1 2

F 1 = 3 2 μ o i 2 4 π a substituindo os valores do enunciado, temos

F 1 = 3 2 4 π × 10 - 7   T . m A 15   A 4 π ( 0 , 08 5   m ) = 74,87 × 10 - 6   N / m

O ângulo que F 1 → faz com o semieixo x positivo é:

ϕ = tan - 1 ⁡ F 1 y F 1 x = tan - 1 ⁡ - 1 = - 45 °  

Mas como sabemos que estamos no quarto quadrante, então

ϕ = 135 °

Na notação dos vetores unitário, temos:

F 1 → = 74,87 × 10 - 6 N m cos ⁡ 135 ° i ^ + s e n 135 ° j ^ F 1 → = - 37 , 43 × 10 - 6 N m i ^ + 37,43 × 10 - 6 N m j E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 👀

Resposta

A força magnética por metro de fio é::

F 1 → = - 37,43 × 10 - 6 N m i ^ + 37,43 × 10 - 6 N m j

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