Enunciado

A figura 29-66 mostra uam seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a = 2,00   c m que conduz uma corrente uniforme de 170   A . Determine o móulo do campo magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a (a) 0 ; (b) 1,00   c m ; (c) 2,00   c m (superfície do fio) e (d) 4,00   c m .

Passo 1

A lei de Àmpere é utilizada para determinar o campo magnético total de uma região que apresente algum tipo de simetria. De acordo com ela:

∮ B . d l   = μ o i e n v

O círculo do sinal de integral indica que a integração do produto escalar B → ⋅ d S → deve ser realizada para uma curva fechada, conhecida como amperiana. A corrente i e n v é a corrente total envolvida pela curva fechada. Essa corrente tamém pode ser escrita como:

i e n v = J ⋅ Á r e a

onde J é a densidade de corrente na curva fechada.

A brincadeira aqui vai ser usar a lei de ampére e a equação da densidade de corrente pra chegarmos numa equação pro campo magnético dependente do raio r   da superfície amperiana, fazendo isso vamos só substituir o raio pra cada um dos itens pedidos. A única situação diferente é caso a amperiana esteja fora do fio, daí usaremos outra equação.

Passo 2

Vamos então correr atrás desse campo magnético aí!

Para determinarmos o campo magnético em pontos situados no interior do fio, podemos usar uma amperiana de raio r por dentro do fio, conforme a figura abaixo.

Vamos então usar lei de ampére por aqui, se você integrar o campo ao longo do comprimento fechado l da superfície do fio, terá o resultado do comprimento de uma circuinferência, então a lei de ampére vai ficar:

∮ B . d l = B 2 π r

Para calcular o lado direito da lei de Àmpere, observamos que, como a distribuição de corrente é uniforme, a corrente i e n v envolvida pela amperiana é proporcional à área envolvida pela curva, ou seja,

i e n v = A a m p e r i a n a A f i o i = i π r 2 π R ²

Então vamos substituir essa equação da corrente envolvida pela amperiana na segunda parte da lei de ampére.

μ 0 i e n v = μ 0 i π r 2 π R ²

Então unindo as parcelas temos:

B 2 π r = μ o i π r 2 π R 2

B = μ o i 2 π R 2 r

Onde r é o raio da amperiana e R é o raio da seção transversal do fio, repara que somente r varia na questão e aqui já podemos responder o item a. pois quando r = 0 , temos:

B = μ o i 2 π R 2 × 0 = 0

Essa equação acima define o campo se a amperiana estiver dentro do fio! Caso ela esteja fora usaremos.

B = μ 0 i 2 π r

Onde r é o raio da amperiana, beleza?

Passo 3

Vamos então para a nossa brincadeira, já temos a expressão que vamos usar aqui:

B = μ o i 2 π R 2 r

Aqui é substituir a corrente i = 170 A e o raio R = 0,02 m , lembrando que esse raio R é constante assim como a corrente.

Para r = 0,01   m ,

B = 4 π × 10 - 7   T . m A 170   A 0,0100   m 2 π 0,0200   m 2

B = 8,50 × 10 - 4   T = 0,850   m T

Passo 4

O passo 4 segue o mesmo flow:

B = μ o i 2 π R 2 r

Aqui é substituir a corrente i = 170 A e o raio R = 0,02 m , lembrando que esse raio R é constante assim como a corrente.

Para r = R = 0,0200   m :

B = 4 π × 10 - 7   T . m A 170   A 0,0200   m 2 π 0,0200   m 2

B = 1,70 × 10 - 3   T = 1,70   m T

Passo 5

No item d. estamos fora da amperiana pois.

r > R

Então usaremos.

B = μ 0 i 2 π r

Aqui é substituir a corrente i = 170 A e o raio r que não é constante nesse caso, estamos fora da amperiana.

Para r = 0,0400   m ,

B = μ o i 2 π r = 4 π × 10 - 7   T . m A 170   A 2 π × 0,04 m = 8,50 × 10 - 4   T = 0,850   m T

Resposta

  1. B = 0 ;
  2. B = 0,850   m T ;
  3. B = 1,70   m T ;
  4. B = 0,850   m T .
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