Enunciado

Em uma certa região existe uma densidade de corrente uniforme de 15   A / m ² no sentido positivo do eixo z . Determine o valor de ∮ B . d S quando a integral de linha é calculada ao longo de três segmentos de reta, de ( 4 d , 0,0 ) para ( 4 d , 3 d , 0 ) , para ( 0,0 , 0 ) para   ( 4 d , 0,0 ) , com d = 20   c m .

Passo 1

A lei de Àmpere é utilizada para determinar o campo magnético total de uma região que apresente algum tipo de simetria. De acordo com ela:

∮ B . d S = μ o i e n v

O círculo do sinal de integral indica que a integração do produto escalar B → ⋅ d S → deve ser realizada para uma curva fecahda, conhecida como amperiana. A corrente i e n v é a corrente total envolvida pela curva fechada. Essa corrente tamém pode ser escrita como:

i e n v = j ⋅ Á r e a ,

onde j é a densidade de corrente na curva fechada.

No nosso exercício, vamos desenhar a região primeiro.

A área envolvida pela integral é um triângulo! A área de um triângulo nós sabemos lá da geometria plana, que é base vezes a altura, divido por 2. Assim,

A = 4 d × 3 d 2 = 6 d ²

Passo 2

Vamos agora calcular a integral!

∮ B . d S = μ o i e n v = μ o j A = 4 π × 10 - 7   T . m A 15 A m 2 6 0,20   m 2 ∮ B . d S = 4,5 × 10 - 6   T . m    

Resposta

O valor da integral é:

∮ B . d S = 4,5 × 10 - 6   T . m    

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